3 maneiras de fatorar um trinômio

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificação: 2024-01-15 08:22

Um trinômio é uma expressão algébrica que consiste em três termos. Provavelmente, você começará a aprender como fatorar um trinômio quadrático, ou seja, um trinômio escrito na forma ax² + bx + c. Existem alguns truques para aprender, que podem ser usados para muitos tipos diferentes de trinômios quadráticos, mas você poderá usá-los melhor e mais rápido com a prática. Polinômios de ordem superior, com termos como x³ ou x⁴, nem sempre pode ser resolvido da mesma maneira, mas muitas vezes você pode usar fatoração simples ou substituição para transformá-lo em um problema que pode ser resolvido como qualquer outra fórmula quadrática.

Etapa

Método 1 de 3: fatoração x² + bx + c

Etapa 1. Aprenda a multiplicação PLDT

Você pode ter aprendido como multiplicar PLDT, ou "Primeiro, Fora, Dentro, Último" para multiplicar expressões como (x + 2) (x + 4). É útil saber como essa multiplicação funciona antes de fatorar:

Multiplique as tribos Primeiro: (x+2)(x+4) = x² + _
Multiplique as tribos Lado de fora: (x+2) (x +

Passo 4.) = x²+ 4x + _
Multiplique as tribos No: (x +

Passo 2.)(x+4) = x²+ 4x + 2x + _
Multiplique as tribos Final: (x +

Passo 2.) (x

Passo 4.) = x²+ 4x + 2x

Etapa 8.
Simplifique: x²+ 4x + 2x + 8 = x²+ 6x + 8

Etapa 2. Compreender a fatoração

Quando você multiplica dois binômios usando o método PLDT, obtém um trinômio (uma expressão com três termos) na forma de x²+ b x + c, onde a, b e c são números comuns. Se você começar com uma equação que tenha a mesma forma, poderá fatorá-la de volta em dois binômios.

Se as equações não forem escritas nesta ordem, reorganize-as para que fiquem nesta ordem. Por exemplo, reescrever 3x - 10 + x² Torna-se x² + 3x - 10.
Porque a maior potência é 2 (x², este tipo de expressão é denominado quadrática.

Passo 3. Deixe um espaço em branco para a resposta na forma de multiplicação PLDT

Por enquanto é só escrever (_ _)(_ _) onde você vai escrever a resposta. Vamos preenchê-lo enquanto trabalhamos nele

Não escreva + ou - entre os termos vazios porque ainda não sabemos o sinal correto

Etapa 4. Preencha os primeiros termos

Para problemas simples, o primeiro termo do seu trinômio é apenas x², os termos na primeira posição são sempre x e x. Esses são os fatores do termo x² porque x vezes x = x².

Nosso exemplo x² + 3x - 10 começando com x², para que possamos escrever:
(x _) (x _)
Trabalharemos em problemas mais complexos na próxima seção, incluindo trinômios começando com termos como 6x² ou -x². Enquanto isso, siga estes exemplos de perguntas.

Etapa 5. Use fatoração para adivinhar os Últimos termos

Se você voltar e ler as etapas de como multiplicar o PLDT, verá que multiplicar os Últimos termos produzirá o último termo no polinômio (termos que não têm x). Então, para fatorar, temos que encontrar dois números que, quando multiplicados, produzirão o último termo.

Em nosso exemplo x² + 3x - 10, o último termo é -10.
Quais são os fatores de -10? Qual número é multiplicado por -10?
Existem várias possibilidades: -1 vezes 10, 1 vezes -10, -2 vezes 5 ou 2 vezes -5. Escreva esses pares em algum lugar para lembrá-los.
Não mude nossa resposta ainda. Nossa resposta ainda deve ser assim: (x _) (x _).

Etapa 6. Teste as possibilidades que correspondem ao produto Externo e Interno

Reduzimos os Últimos termos a algumas possibilidades. Use o sistema de teste para testar todas as possibilidades, multiplicando os termos Externos e Internos e comparando o produto com nosso trinômio. Por exemplo:

Nosso problema original tinha o termo "x" em 3x, portanto, nossos resultados de teste devem corresponder a esse termo.
Testes -1 e 10: (x-1) (x + 10). Exterior + Interior = 10x - x = 9x. Errado.
Testes 1 e -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Isto está errado. Na verdade, se você testar -1 e 10, descobrirá que 1 e -10 são o oposto da resposta acima: -9x em vez de 9x.
Testes -2 e 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. O resultado corresponde ao polinômio inicial, então aqui está a resposta correta: (x-2) (x + 5).
Em casos simples como este, se você não tiver uma constante antes do termo x², você pode usar a maneira mais rápida: basta somar os dois fatores e colocar um "x" atrás deles (-2 + 5 → 3x). No entanto, esse método não funciona para problemas mais complexos, então é melhor lembrar o "caminho longo" descrito acima.

Método 2 de 3: fatoração de trinômios mais complexos

Etapa 1. Use fatoração simples para simplificar problemas mais complexos

Por exemplo, você deve fatorar 3x² + 9x - 30. Encontre um número que possa fatorar todos os três termos ("maior fator comum" ou GCF). Neste caso, o GCF é 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Assim, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Podemos fatorar o novo trinômio usando as etapas na seção acima. Nossa resposta final será (3) (x-2) (x + 5).

Etapa 2. Procure mais fatores complicadores

Às vezes, a fatoração pode envolver uma variável ou você pode precisar fatorar várias vezes para encontrar a expressão mais simples possível. aqui estão alguns exemplos:

2x²y + 14xy + 24y = (2a)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² + 11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Não se esqueça de refatorar o novo trinômio, usando as etapas do Método 1. Verifique seu trabalho e procure exemplos de problemas semelhantes nos exemplos de perguntas perto do final desta página.

Etapa 3. Resolva problemas com um número na frente de x².

Alguns trinômios quadráticos não podem ser reduzidos ao tipo de problema mais fácil. Aprenda a resolver problemas como 3x² + 10x + 8 e, em seguida, pratique por conta própria com os exemplos de perguntas na parte inferior desta página:

Defina nossa resposta como: (_ _)(_ _)
Nossos "primeiros" termos terão, cada um, um x, e multiplicá-los resulta em 3x². Existe apenas uma possibilidade: (3x _) (x _).
Liste os fatores de 8. As probabilidades são 1 vezes 8 ou 2 vezes 4.
Teste essa possibilidade usando os termos externos e internos. Observe que a ordem dos fatores é muito importante porque o termo externo é multiplicado por 3x em vez de x. Experimente todas as possibilidades até obter Out + In = 10x (do problema original):
(3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x não
(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x não
(3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x não
(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x sim. Este é o fator correto.

Etapa 4. Use a substituição para trinômios de ordem superior

Seu livro de matemática pode surpreendê-lo com equações com altas potências, como x⁴, mesmo depois de usar fatoração simples para tornar o problema mais fácil. Tente substituir por uma nova variável que o transforme em um problema que você sabe como resolver. Por exemplo:

x⁵+ 13x³+ 36x
= (x) (x⁴+ 13x²+36)
Vamos criar uma nova variável. Digamos y = x² e coloque nele:
(x) (y²+ 13y + 36)
= (x) (y + 9) (y + 4). Agora, converta de volta para a variável inicial:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Método 3 de 3: fatoração de casos especiais

Etapa 1. Encontre os números primos

Observe se a constante no primeiro ou terceiro termo do trinômio é um número primo. Um número primo só é divisível por ele mesmo e por 1, portanto, há apenas um par possível de fatores binomiais.

Por exemplo, em x² + 6x + 5, 5 é um número primo, então o binômio deve ter a forma (_ 5) (_ 1).
No problema de 3x²+ 10x + 8, 3 é um número primo, então o binômio deve ter a forma (3x _) (x _).
Para perguntas 3x²+ 4x + 1, ambos 3 e 1 são números primos, então a única solução possível é (3x + 1) (x + 1). (Você ainda deve multiplicar este número para verificar sua resposta porque algumas expressões não podem ser fatoradas - por exemplo, 3x²+ 100x + 1 não tem fator.)

Etapa 2. Descubra se o trinômio é um quadrado perfeito

Um trinômio quadrado perfeito pode ser fatorado em dois binômios idênticos, e o fator é geralmente escrito como (x + 1)² e não (x + 1) (x + 1). Aqui estão alguns exemplos que tendem a aparecer em perguntas:

x²+ 2x + 1 = (x + 1)², e x²-2x + 1 = (x-1)²
x²+ 4x + 4 = (x + 2)², e x²-4x + 4 = (x-2)²
x²+ 6x + 9 = (x + 3)², e x²-6x + 9 = (x-3)²
Trinômio quadrado perfeito na forma de x² + bx + c sempre tem os termos a e c que são quadrados perfeitos positivos (como 1, 4, 9, 16 ou 25) e um termo b (positivo ou negativo) que é igual a 2 (√a * √c).

Etapa 3. Descubra se um problema não tem solução

Nem todos os trinômios podem ser fatorados. Se você não pode fatorar um trinômio quadrático (ax²+ bx + c), use a fórmula quadrática para encontrar a resposta. Se a única resposta for a raiz quadrada de um número negativo, não há solução de número real, então o problema não tem fatores.

Para trinômios não quadrados, use o Critério de Eisenstein, que é descrito na seção Dicas

Respostas e exemplos de perguntas

Respostas para perguntas de "fatoração complicada".

Essas são perguntas da etapa "fatores mais complicados". Simplificamos os problemas para torná-los mais fáceis, então tente resolvê-los usando as etapas do método 1 e, em seguida, verifique seu trabalho aqui:
- (2a) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
- (x²) (x² + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
- (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Experimente problemas de fatoração mais complexos.

Esses problemas têm o mesmo fator em cada termo que deve ser fatorado primeiro. Bloqueie os espaços em branco após o sinal de igual para ver as respostas para que você possa verificar seu trabalho:
- 3x³+ 3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) bloqueie o espaço em branco para ver a resposta
- -5x³y²+ 30x²y²-25y²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Pratique usando perguntas. Esses problemas não podem ser fatorados em equações mais fáceis, então você terá que encontrar a resposta no formulário (_x + _) (_ x + _) usando tentativa e erro:
- 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) bloco para ver a resposta
- 9x²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Dica: você pode tentar mais de um par de fatores para 9x.)
Pontas
- Se você não consegue descobrir como fatorar um trinômio quadrático (machado²+ bx + c), você pode usar a fórmula quadrática para encontrar x.
- Embora você não precise saber como fazer isso, você pode usar os critérios de Eisenstein para determinar rapidamente se um polinômio não pode ser simplificado e fatorado. Este critério se aplica a qualquer polinômio, mas é melhor usado para trinômios. Se houver um número primo p que divide os dois últimos termos uniformemente e satisfaz as seguintes condições, o polinômio não pode ser simplificado:
  - Termos constantes (sem variáveis) são múltiplos de p, mas não múltiplos de p².
  - O prefixo (por exemplo, um em machado²+ bx + c) não é um múltiplo de p.
  - Por exemplo, 14x² + 45x +51 não pode ser simplificado porque há um número primo (3) que pode ser divisível por 45 e 51, mas não por 14, e 51 não é divisível por 3².
Aviso

Embora isso seja verdade para trinômios quadráticos, o trinômio que pode ser fatorado não é necessariamente o produto de dois binômios. Por exemplo, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).