Um polinômio contém uma variável (x) com uma potência, conhecida como grau, e vários termos e / ou constantes. Fatorar um polinômio significa quebrar a equação em equações mais simples que podem ser multiplicadas. Esta habilidade é em Álgebra 1 e superior e pode ser difícil de entender se suas habilidades matemáticas não estiverem neste nível.
Etapa
Começar
Etapa 1. Configure sua equação
O formato padrão para uma equação quadrática é:
machado2 + bx + c = 0
Comece ordenando os termos em sua equação da maior para a menor potência, assim como neste formato padrão. Por exemplo:
6 + 6x2 + 13x = 0
Reordenaremos essa equação para que seja mais fácil trabalhar com ela simplesmente movendo os termos:
6x2 + 13x + 6 = 0
Etapa 2. Encontre o fator de forma usando um dos seguintes métodos
Fatorar os resultados do polinômio em duas equações mais simples que podem ser multiplicadas para produzir o polinômio original:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Neste exemplo, (2x + 3) e (3x + 2) são os fatores da equação original, 6x2 + 13x + 6.
Etapa 3. Verifique seu trabalho
Multiplique os fatores que você possui. Em seguida, combine os termos semelhantes e pronto. Começar com:
(2x + 3) (3x + 2)
Vamos tentar multiplicar os termos usando PLDT (primeiro - fora - dentro - último), resultando em:
6x2 + 4x + 9x + 6
A partir daqui, podemos adicionar 4x e 9x porque são termos semelhantes. Sabemos que nossos fatores estão corretos porque obtemos nossa equação original:
6x2 + 13x + 6
Método 1 de 6: tentativa e erro
Se você tiver um polinômio bastante simples, poderá encontrar os fatores sozinho apenas olhando para eles. Por exemplo, após a prática, muitos matemáticos podem descobrir que a equação 4x2 + 4x + 1 tem um fator de (2x + 1) e (2x + 1) apenas por olhar para ele com frequência. (Isso obviamente não será fácil para polinômios mais complicados). Para este exemplo, vamos usar uma equação usada com menos frequência:
3x2 + 2x - 8
Etapa 1. Escreva uma lista dos fatores do termo a e do termo c
Usando o formato de equação de machado2 + bx + c = 0, identifique os termos a e c e anote os fatores que ambos os termos possuem. Por 3x2 + 2x - 8, significando:
a = 3 e tem um conjunto de fatores: 1 * 3
c = -8 e tem quatro conjuntos de fatores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8.
Etapa 2. Escreva dois conjuntos de colchetes com espaços em branco
Você preencherá os espaços em branco que criou com constantes para cada equação:
(x) (x)
Etapa 3. Preencha os espaços em branco na frente de x com os pares de fatores possíveis para o valor de a
Para o termo a em nosso exemplo, 3x2, há apenas uma possibilidade para o nosso exemplo:
(3x) (1x)
Etapa 4. Preencha os dois espaços em branco após x com pares de fatores para a constante
Suponha que escolhamos 8 e 1. Escreva neles:
(3x
Etapa 8.)(
Passo 1
Etapa 5. Determine o sinal (mais ou menos) entre a variável x e o número
Dependendo dos sinais na equação original, pode ser possível pesquisar por sinais para constantes. Suponha que chamemos as duas constantes h e k para nossos dois fatores:
Se machado2 + bx + c então (x + h) (x + k)
Se machado2 - bx - c ou ax2 + bx - c então (x - h) (x + k)
Se machado2 - bx + c então (x - h) (x - k)
Para nosso exemplo, 3x2 + 2x - 8, os sinais são: (x - h) (x + k), dando-nos dois fatores:
(3x + 8) e (x - 1)
Etapa 6. Teste suas escolhas usando a multiplicação primeiro a sair no último (PLDT)
O primeiro teste rápido é para ver se o termo do meio tem pelo menos o valor correto. Caso contrário, você pode ter escolhido os fatores c errados. Vamos testar nossa resposta:
(3x + 8) (x - 1)
Por multiplicação, obtemos:
3x2 - 3x + 8x - 8
Simplificando esta equação adicionando os termos semelhantes (-3x) e (8x), obtemos:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Agora sabemos que devemos ter usado os fatores errados:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Etapa 7. Altere sua seleção, se necessário
Em nosso exemplo, vamos tentar 2 e 4 em vez de 1 e 8:
(3x + 2) (x - 4)
Agora, nosso termo c é -8, mas nosso produto externo / interno (3x * -4) e (2 * x) é -12x e 2x, que combinados não produzirão o termo b + 2x correto.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Etapa 8. Inverta a ordem, se necessário
Vamos tentar trocar 2 e 4:
(3x + 4) (x - 2)
Agora, nosso termo c (4 * 2 = 8) está correto, mas o produto externo / interno é -6x e 4x. Se os combinarmos:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Estamos bem perto de 2x que estamos procurando, mas o sinal está errado.
Etapa 9. Verifique novamente suas tags, se necessário
Usaremos a mesma ordem, mas trocaremos as equações que têm o sinal de menos:
(3x - 4) (x + 2)
Agora, o termo c não é problema, e o produto externo / interno atual é (6x) e (-4x). Porque:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Agora podemos usar 2x positivo do problema original. Esses devem ser os fatores corretos.
Método 2 de 6: Decomposição
Este método identificará todos os fatores possíveis dos termos aec e os usará para encontrar os fatores corretos. Se os números forem muito grandes ou as suposições parecerem demoradas, use este método. Vamos usar um exemplo:
6x2 + 13x + 6
Etapa 1. Multiplique o termo a pelo termo c
Neste exemplo, a é 6 e c também é 6.
6 * 6 = 36
Etapa 2. Obtenha o termo b fatorando e testando
Estamos procurando dois números que são fatores do produto a * c que identificamos e também somam o termo b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Etapa 3. Substitua os dois números que você obtém em sua equação como resultado da adição do termo b
Vamos usar k e h para representar os dois números que temos, 4 e 9:
machado2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Etapa 4. Fatorar o polinômio por agrupamento
Organize as equações de modo que você possa obter o maior fator comum do primeiro e do segundo termos. O grupo de fatores deve ser o mesmo. Adicione o Maior Fator Comum e coloque-o entre parênteses ao lado do grupo de fatores; o resultado são seus dois fatores:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Método 3 de 6: Triple Play
Semelhante ao método de decomposição, o método triple play examina os possíveis fatores de multiplicação dos termos a e ce usando o valor de b. Tente usar esta equação de exemplo:
8x2 + 10x + 2
Etapa 1. Multiplique o termo a pelo termo c
Como o método de análise, isso nos ajudará a identificar candidatos para o termo b. Neste exemplo, a é 8 e c é 2.
8 * 2 = 16
Etapa 2. Encontre dois números que, quando multiplicados por números, produzem esse número com uma soma total igual ao termo b
Esta etapa é igual à análise - testamos e descartamos candidatos para a constante. O produto dos termos a e c é 16, e o termo c é 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Etapa 3. Pegue esses dois números e teste-os conectando-os à fórmula de triple play
Pegue nossos dois números da etapa anterior - vamos chamá-los de h e k - e conecte-os à equação:
((ax + h) (ax + k)) / a
Nós vamos chegar:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Etapa 4. Observe se algum dos dois termos no numerador é divisível por a
Neste exemplo, vimos se (8x + 8) ou (8x + 2) é divisível por 8. (8x + 8) é divisível por 8, então vamos dividir esse termo por a e deixar os outros fatores sozinhos.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
O termo entre parênteses aqui é o que resta depois de dividirmos pelo termo a.
Etapa 5. Pegue o maior fator comum (GCF) de um ou ambos os termos, se houver
Neste exemplo, o segundo termo, tem um GCF de 2, porque 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combine este resultado com o termo obtido na etapa anterior. Esses são os fatores da sua equação.
2 (x + 1) (4x + 1)
Método 4 de 6: diferença de raízes quadradas
Alguns coeficientes em polinômios podem ser 'quadrados' ou o produto de dois números. Identificar esses quadrados permite fatorar vários polinômios mais rapidamente. Experimente esta equação:
27x2 - 12 = 0
Etapa 1. Retire o maior fator comum, se possível
Nesse caso, podemos ver que 27 e 12 são divisíveis por 3, então temos:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Etapa 2. Identifique se os coeficientes de sua equação são números quadrados
Para usar este método, você deve ser capaz de obter a raiz quadrada de ambos os termos. (Observe que iremos ignorar o sinal negativo - porque esses números são quadrados, eles podem ser o produto de dois números positivos ou negativos)
9x2 = 3x * 3x e 4 = 2 * 2
Passo 3. Usando a raiz quadrada que você obteve, anote os fatores
Vamos pegar os valores de a e c de nossa etapa acima - a = 9 e c = 4, em seguida, encontrar a raiz quadrada - a = 3 e c = 2. O resultado é o coeficiente da equação do fator:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Método 5 de 6: Fórmula Quadrática
Se tudo mais falhar e a equação não puder ser fatorada inteira, use a fórmula quadrática. Experimente este exemplo:
x2 + 4x + 1 = 0
Etapa 1. Insira os valores necessários na fórmula quadrática:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Temos a equação:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Etapa 2. Encontre o valor de x
Você obterá dois valores. Conforme mostrado acima, temos duas respostas:
x = -2 + (3) ou x = -2 - (3)
Etapa 3. Use seu valor x para encontrar os fatores
Insira os valores x obtidos nas duas equações polinomiais como constantes. O resultado são seus fatores. Se chamarmos nossas respostas de h e k, anotamos os dois fatores da seguinte forma:
(x - h) (x - k)
Neste exemplo, nossa resposta final é:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Método 6 de 6: usando a calculadora
Se você tiver permissão para usar uma calculadora, uma calculadora gráfica torna o processo de fatoração muito mais fácil, especialmente para testes padronizados. Estas instruções são para a calculadora gráfica TI. Usaremos uma equação de exemplo:
y = x2 x 2
Etapa 1. Insira sua equação na calculadora
Você usará a fatoração da equação, que está escrita [Y =] na tela.
Etapa 2. Represente graficamente sua equação usando a calculadora
Depois de inserir sua equação, pressione [GRAPH] - você verá uma curva suave que representa sua equação (e a forma é uma curva porque estamos usando polinômios).
Etapa 3. Encontre o local onde a curva se cruza com o eixo x
Uma vez que as equações polinomiais são geralmente escritas como machado2 + bx + c = 0, esta interseção é o segundo valor de x que faz com que a equação seja zero:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Se você não conseguir identificar onde o gráfico se cruza com o eixo x olhando para ele, pressione [2nd] e, em seguida, [TRACE]. Pressione [2] ou selecione zero. Mova o cursor para a esquerda da interseção e pressione [ENTER]. Mova o cursor para a direita da interseção e pressione [ENTER]. Mova o cursor o mais próximo possível da interseção e pressione [ENTER]. A calculadora encontrará o valor de x. Faça isso também para as outras interseções
Etapa 4. Insira o valor x obtido na etapa anterior nas duas equações fatoriais
Se nomearmos ambos os nossos valores x hek, as equações que usaríamos seriam:
(x - h) (x - k) = 0
Assim, nossos dois fatores são:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Pontas
- Se você tiver uma calculadora (gráfico) TI-84, existe um programa chamado SOLVER que resolverá suas equações quadráticas. Este programa resolverá polinômios de qualquer grau.
- Se um termo não for escrito, o coeficiente é 0. É útil reescrever a equação se for o caso, por exemplo: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Se você fatorou seu polinômio usando uma fórmula quadrática e obteve a resposta em termos de raízes, convém converter o valor de x em uma fração para verificar.
- Se um termo não tiver coeficiente escrito, o coeficiente é 1, por exemplo: x2 = 1x2.
- Depois de prática suficiente, você será capaz de fatorar polinômios em sua cabeça. Até que você possa fazer isso, certifique-se de sempre escrever as instruções.
