Na matemática, factoring é uma maneira de encontrar números ou expressões que, quando multiplicados, produzirão um determinado número ou equação. O fatoração é uma habilidade útil para aprender a resolver problemas simples de álgebra; a capacidade de fatorar bem torna-se importante ao lidar com equações quadráticas e outras formas de polinômios. O fatoração pode ser usado para simplificar expressões algébricas para tornar suas soluções mais fáceis. O factoring pode até fornecer a capacidade de eliminar certas respostas possíveis, muito mais rápido do que resolvê-las manualmente.
Etapa
Método 1 de 3: fatoração de números e expressões algébricas simples
Etapa 1. Compreenda a definição de fatoração quando aplicada a números únicos
O fatoração é um conceito simples, mas, na prática, pode ser desafiador quando aplicado a equações complexas. Portanto, é mais fácil abordar o conceito de fatoração começando com números simples e, em seguida, passando para equações simples, antes de finalmente passar para aplicações mais complexas. Fatores de um número são números que, quando multiplicados, produzem o número. Por exemplo, os fatores de 12 são 1, 12, 2, 6, 3 e 4, porque 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4 são iguais a 12.
- Outra maneira de pensar nisso é que os fatores de um número são números que podem ser divididos igualmente no número.
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Você consegue encontrar todos os fatores do número 60? Usamos o número 60 para vários fins (minutos em uma hora, segundos em um minuto, etc.) porque ele pode ser divisível por vários outros números.
Os fatores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60
Etapa 2. Compreenda que as expressões de variáveis também podem ser fatoradas
Assim como os próprios números podem ser fatorados, as variáveis com coeficientes de número também podem ser fatoradas. Para fazer isso, basta encontrar os fatores dos coeficientes das variáveis. Saber como fatorar uma variável é muito útil para simplificar as equações algébricas que envolvem essa variável.
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Por exemplo, a variável 12x pode ser escrita como o produto dos fatores 12 e x. Podemos escrever 12x como 3 (4x), 2 (6x), etc., usando os fatores de 12 que funcionam melhor para nossos objetivos.
Podemos até fatorar 12x várias vezes. Em outras palavras, não precisamos parar em 3 (4x) ou 2 (6x) - podemos fatorar 4x e 6x para produzir 3 (2 (2x) e 2 (3 (2x). Claro, essas duas expressões são equivalentes
Etapa 3. Aplicar a propriedade distributiva da multiplicação às equações algébricas dos fatores
Usando seu conhecimento de como fatorar números únicos e variáveis com coeficientes, você pode simplificar equações algébricas simples, encontrando os fatores que números e variáveis compartilham em equações algébricas. Normalmente, para simplificar uma equação, tentamos encontrar o maior fator comum. Este processo de simplificação é possível devido à propriedade distributiva da multiplicação, que se aplica a qualquer número a, b e c. a (b + c) = ab + ac.
- Vamos tentar um exemplo de pergunta. Para fatorar a equação algébrica 12x + 6, primeiro, vamos tentar encontrar o maior fator comum de 12x e 6. 6 é o maior número que pode dividir uniformemente 12x e 6, então podemos simplificar a equação para 6 (2x + 1).
- Este processo também se aplica a equações com números negativos e frações. Por exemplo, x / 2 + 4 pode ser simplificado para 1/2 (x + 8) e -7x + -21 pode ser fatorado para -7 (x + 3).
Método 2 de 3: fatoração de equações quadráticas
Etapa 1. Certifique-se de que a equação está na forma quadrática (machado2 + bx + c = 0).
As equações quadráticas têm a forma machado2 + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes numéricas e não iguais a 0 (observe que a pode ser igual a 1 ou -1). Se você tem uma equação que tem uma variável (x) que tem um termo x elevado à potência de dois ou mais, você geralmente move esses termos na equação usando operações algébricas simples para obter 0 em ambos os lados do sinal de igual e do machado2etc. por outro lado.
- Por exemplo, vamos pensar em uma equação algébrica. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 pode ser simplificado para x2 + 6x + 9 = 0, que é a forma quadrada.
- Equações com a maior potência de x, como x3, x4etc. não são equações quadráticas. Essas equações são equações cúbicas, à quarta potência e assim por diante, a menos que a equação possa ser simplificada para remover esses termos x com potências maiores que 2.
Etapa 2. Em uma equação quadrática, onde a = 1, fatore em (x + d) (x + e), onde d × e = ce d + e = b
Se sua equação quadrática estiver na forma x2 + bx + c = 0 (em outras palavras, se o coeficiente do termo x2 = 1), é possível (mas não garantido) que um método abreviado bastante fácil pode ser usado para fatorar a equação. Encontre dois números que, quando multiplicados, dão c e adicionado para produzir b. Depois de pesquisar esses dois números d e e, coloque-os na seguinte expressão: (x + d) (x + e). Esses dois termos, quando multiplicados, fornecem sua equação quadrática - em outras palavras, eles são os fatores de sua equação quadrática.
- Por exemplo, vamos pensar na equação quadrática x2 + 5x + 6 = 0. 3 e 2 são multiplicados para dar 6 e também somados para dar 5, então podemos simplificar esta equação para (x + 3) (x + 2).
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A ligeira diferença neste método básico de taquigrafia reside nas diferenças nas próprias semelhanças:
- Se a equação quadrática estiver na forma x2-bx + c, sua resposta está neste formato: (x - _) (x - _).
- Se a equação estiver na forma x2+ bx + c, sua resposta será assim: (x + _) (x + _).
- Se a equação estiver na forma x2-bx-c, sua resposta está na forma (x + _) (x - _).
- Nota: os números em branco podem ser frações ou decimais. Por exemplo, a equação x2 + (21/2) x + 5 = 0 é fatorado em (x + 10) (x + 1/2).
Etapa 3. Se possível, fatorar por meio de cheques
Acredite ou não, para equações quadráticas não complicadas, um dos métodos de fatoração permitidos é examinar o problema e, em seguida, considerar as respostas possíveis até encontrar a resposta correta. Esse método também é conhecido como fatoração por meio de exame. Se a equação estiver na forma de machado2+ bx + c e a> 1, sua resposta de fator está na forma (dx +/- _) (ex +/- _), onde d e e são constantes de números diferentes de zero que, quando multiplicados, dão a. Nem d nem e (ou ambos) podem ser 1, embora não precise ser. Se ambos forem 1, você está basicamente usando o método abreviado descrito acima.
Vamos pensar em um exemplo de problema. 3x2 - 8x + 4 parece difícil no início. No entanto, uma vez que percebemos que 3 tem apenas dois fatores (3 e 1), essa equação se torna mais fácil porque sabemos que nossa resposta deve ser da forma (3x +/- _) (x +/- _). Nesse caso, adicionar -2 a ambos os espaços em branco fornece a resposta correta. -2 × 3x = -6x e -2 × x = -2x. -6x e -2x somam -8x. -2 × -2 = 4, então podemos ver que os termos fatorados entre parênteses quando multiplicados produzem a equação original.
Etapa 4. Resolva completando o quadrado
Em alguns casos, as equações quadráticas podem ser fatoradas rápida e facilmente usando identidades algébricas especiais. Qualquer equação quadrática na forma x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Portanto, se em sua equação o valor de b for duas vezes a raiz quadrada do valor de c, sua equação pode ser fatorada em (x + (raiz (c)))2.
Por exemplo, a equação x2 + 6x + 9 tem esta forma. 32 é 9 e 3 × 2 é 6. Portanto, sabemos que a forma do fator desta equação é (x + 3) (x + 3), ou (x + 3)2.
Etapa 5. Use fatores para resolver equações quadráticas
Independentemente de como você fatorou sua equação quadrática, uma vez que a equação seja fatorada, você pode encontrar respostas possíveis para o valor de x tornando cada fator igual a zero e resolvendo-as. Como você está procurando o valor de x que torna sua equação igual a zero, o valor de x que torna qualquer fator igual a zero é uma resposta possível para sua equação quadrática.
Vamos voltar à equação x2 + 5x + 6 = 0. Esta equação é fatorada em (x + 3) (x + 2) = 0. Se qualquer fator for igual a 0, todas as equações serão iguais a 0, então nossas respostas possíveis para x são números - um número que torna (x + 3) e (x + 2) é igual a 0. Esses números são -3 e -2, respectivamente.
Etapa 6. Verifique suas respostas - algumas das respostas podem ser enganosas
Quando encontrar respostas possíveis para x, conecte-as de volta à equação original para ver se a resposta está correta. Às vezes, as respostas que você encontra não tornam a equação original igual a zero quando inserida novamente. Chamamos essa resposta de desviante e a ignoramos.
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Vamos colocar -2 e -3 em x2 + 5x + 6 = 0. Primeiro, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Esta resposta está correta, então -2 é a resposta correta.
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Agora, vamos tentar -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Essa resposta também está correta, então -3 é a resposta correta.
Método 3 de 3: fatoração de outras equações
Etapa 1. Se a equação for expressa na forma a2-b2, fator em (a + b) (a-b).
Equações com duas variáveis têm fatores diferentes da equação quadrática básica. Para a equação a2-b2 qualquer coisa onde aeb não são iguais a 0, os fatores da equação são (a + b) (a-b).
Por exemplo, a equação 9x2 - 4 anos2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Etapa 2. Se a equação for expressa na forma de2+ 2ab + b2, fator em (a + b)2.
Observe que, se o trinômio é da forma de um2-2ab + b2, os fatores de forma são ligeiramente diferentes: (a-b)2.
4x. Equação2 + 8xy + 4y2 pode ser reescrito como 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Agora, podemos ver que a forma está correta, então podemos ter certeza que os fatores de nossa equação são (2x + 2y)2
Etapa 3. Se a equação for expressa na forma de3-b3, fator em (a-b) (a2+ ab + b2).
Finalmente, já foi mencionado que equações cúbicas e até potências maiores podem ser fatoradas, embora o processo de fatoração rapidamente se torne muito complicado.
Por exemplo, 8x3 - 27 anos3 fatorado em (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Pontas
- uma2-b2 pode ser fatorado, um2+ b2 não pode ser fatorado.
- Lembre-se de como fatorar uma constante. Isso pode ajudar.
- Tenha cuidado com as frações no processo de fatoração e trabalhe com as frações de maneira correta e cuidadosa.
- Se você tiver um trinômio da forma x2+ bx + (b / 2)2, o fator de forma é (x + (b / 2))2. (Você pode encontrar esta situação ao completar o quadrado.)
- Lembre-se de que a0 = 0 (a propriedade do produto de zero).
