O agrupamento é uma técnica especial usada para fatorar equações polinomiais. Você pode usá-lo com equações quadráticas e polinômios que possuem quatro termos. Os dois métodos são quase iguais, mas ligeiramente diferentes.
Etapa
Método 1 de 2: Equação quadrática
Etapa 1. Observe a equação
Se você planeja usar este método, a equação deve seguir a forma básica: machado2 + bx + c
- Este processo é geralmente usado quando o coeficiente líder (um termo) é um número diferente de "1", mas também pode ser usado para equações quadráticas onde a = 1.
- Exemplo: 2x2 + 9x + 10
Etapa 2. Encontre o produto principal de
Multiplique os termos a e c. O produto desses dois termos é chamado de produto principal.
-
Exemplo: 2x2 + 9x + 10
- a = 2; c = 10
- a * c = 2 * 10 = 20
Etapa 3. Separe o produto em seus pares de fatores
Anote os fatores de seu produto principal, separando-os em pares de inteiros (os pares necessários para obter o produto principal).
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Exemplo: Os fatores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Escrito em pares de fatores: (1, 20), (2, 10), (4, 5)
Etapa 4. Encontre um par de fatores com soma igual a b
Observe os pares de fatores e determine o par que dará o termo b - o termo da mediana e o coeficiente x - quando somados.
- Se o seu produto principal for negativo, você precisará encontrar um par de fatores que igualam o termo b quando subtraídos um do outro.
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Exemplo: 2x2 + 9x + 10
- b = 9
- 1 + 20 = 21; este não é o casal certo
- 2 + 10 = 12; este não é o casal certo
- 4 + 5 = 9; isto é verdadeiro parceiro
Etapa 5. Divida o termo do meio em dois fatores
Reescreva o termo do meio, separando-o nos pares de fatores que foram pesquisados anteriormente. Certifique-se de inserir o sinal correto (mais ou menos).
- Observe que a ordem dos termos intermediários não é importante para esse problema. Não importa a ordem dos termos que você escrever, o resultado será o mesmo.
- Exemplo: 2x2 + 9x + 10 = 2x2 + 5x + 4x + 10
Passo 6. Agrupe as tribos para formar pares
Agrupe os primeiros dois termos em um par e os segundos dois termos em um par.
Exemplo: 2x2 + 5x + 4x + 10 = (2x2 + 5x) + (4x + 10)
Etapa 7. Fatore cada par
Encontre os fatores comuns do par e calcule-os. Reescreva a equação corretamente.
Exemplo: x (2x + 5) + 2 (2x + 5)
Etapa 8. Fatore os colchetes iguais
Deve haver os mesmos colchetes binomiais entre as duas metades. Retire esses colchetes e coloque os outros termos dentro dos outros colchetes.
Exemplo: (2x + 5) (x + 2)
Etapa 9. Escreva suas respostas
Agora você tem sua resposta.
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Exemplo: 2x2 + 9x + 10 = (2x + 5) (x + 2)
A resposta final é: (2x + 5) (x + 2)
Exemplos Adicionais
Etapa 1. Fator:
4x2 - 3x - 10
- a * c = 4 * -10 = -40
- Fatores de 40: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
- O par correto de fatores: (5, 8); 5 - 8 = -3
- 4x2 - 8x + 5x - 10
- (4x2 - 8x) + (5x - 10)
- 4x (x - 2) + 5 (x - 2)
- (x - 2) (4x + 5)
Etapa 2. Fator:
8x2 + 2x - 3
- a * c = 8 * -3 = -24
- Fator de 24: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
- O par correto de fatores: (4, 6); 6 - 4 = 2
- 8x2 + 6x - 4x - 3
- (8x2 + 6x) - (4x + 3)
- 2x (4x + 3) - 1 (4x + 3)
- (4x + 3) (2x - 1)
Método 2 de 2: polinômios com quatro termos
Etapa 1. Observe a equação
A equação deve ter quatro termos separados. No entanto, a forma das quatro tribos pode variar.
- Normalmente, você usará este método se vir uma equação polinomial semelhante a: ax3 + bx2 + cx + d
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A equação também pode ser semelhante a:
- axy + by + cx + d
- machado2 + bx + cxy + dy
- machado4 + bx3 + cx2 + dx
- Ou quase a mesma variação.
- Exemplo: 4x4 + 12x3 + 6x2 + 18x
Etapa 2. Fatore o maior fator comum (GCF)
Determine se os quatro termos têm algo em comum. O maior fator comum dos quatro termos, se algum dos fatores for comum, deve ser fatorado fora da equação.
- Se a única coisa que os quatro termos têm em comum é o número "1", então esse termo não tem GCF e nada pode ser fatorado nesta etapa.
- Ao fatorar o GCF, certifique-se de continuar a escrever o GCF na frente de sua equação enquanto trabalha. Este GCF desclassificado deve ser incluído como parte de sua resposta final para que sua resposta seja precisa.
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Exemplo: 4x4 + 12x3 + 6x2 + 18x
- Cada termo é igual a 2x, então este problema pode ser reescrito como:
- 2x (2x3 + 6x2 + 3x + 9)
Etapa 3. Faça grupos menores no problema
Agrupe os dois primeiros termos e os dois segundos termos.
- Se o primeiro termo do segundo grupo tiver um sinal de menos antes dele, você deve colocar o sinal de menos antes do segundo parêntese. Você deve alterar o sinal do segundo termo no segundo grupo para corresponder a ele.
- Exemplo: 2x (2x3 + 6x2 + 3x + 9) = 2x [(2x3 + 6x2) + (3x + 9)]
Etapa 4. Fatore o GCF de cada binômio
Identifique o GCF em cada par binomial e fatorar o GCF para estar fora do par. Reescreva esta equação corretamente.
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Nesta etapa, você pode se deparar com a escolha entre fatorar números positivos ou negativos para o segundo grupo. Observe os sinais antes do segundo e quarto termos.
- Quando os dois sinais são iguais (ambos positivos ou negativos), fatorar um número positivo.
- Quando os dois sinais forem diferentes (um negativo e outro positivo), fator um número negativo.
- Exemplo: 2x [(2x3 + 6x2) + (3x + 9)] = 2x2[2x2(x + 3) + 3 (x + 3)]
Etapa 5. Fatore o mesmo binômio
Os pares binomiais em ambos os colchetes devem ser iguais. Fatore este par fora da equação e, em seguida, agrupe os termos restantes em outros parênteses.
- Se os binômios entre parênteses não corresponderem, verifique seu trabalho ou tente reorganizar seus termos e reagrupar a equação.
- Todos os colchetes devem ser iguais. Se eles não forem iguais, o problema não será fatorado por agrupamento ou outros métodos, mesmo se você tentar qualquer método.
- Exemplo: 2x2[2x2(x + 3) + 3 (x + 3)] = 2x2[(x + 3) (2x2 + 3)]
Etapa 6. Escreva suas respostas
Você terá sua resposta nesta etapa.
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Exemplo: 4x4 + 12x3 + 6x2 + 18x = 2x2(x + 3) (2x2 + 3)
A resposta final é: 2x2(x + 3) (2x2 + 3)
Exemplos Adicionais
Etapa 1. Fator:
6x2 + 2xy - 24x - 8y
- 2 [3x2 + xy - 12x - 4y]
- 2 [(3x2 + xy) - (12x + 4y)]
- 2 [x (3x + y) - 4 (3x + y)]
- 2 [(3x + y) (x - 4)]
- 2 (3x + y) (x - 4)
Etapa 2. Fator:
x3 - 2x2 + 5x - 10
- (x3 - 2x2) + (5x - 10)
- x2(x - 2) + 5 (x - 2)
- (x - 2) (x2 + 5)
