Como fatorar com agrupamento (com imagens)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificação: 2024-01-15 08:22

O agrupamento é uma técnica especial usada para fatorar equações polinomiais. Você pode usá-lo com equações quadráticas e polinômios que possuem quatro termos. Os dois métodos são quase iguais, mas ligeiramente diferentes.

Etapa

Método 1 de 2: Equação quadrática

Etapa 1. Observe a equação

Se você planeja usar este método, a equação deve seguir a forma básica: machado² + bx + c

Este processo é geralmente usado quando o coeficiente líder (um termo) é um número diferente de "1", mas também pode ser usado para equações quadráticas onde a = 1.
Exemplo: 2x² + 9x + 10

Etapa 2. Encontre o produto principal de

Multiplique os termos a e c. O produto desses dois termos é chamado de produto principal.

Exemplo: 2x² + 9x + 10
- a = 2; c = 10
- a * c = 2 * 10 = 20

Etapa 3. Separe o produto em seus pares de fatores

Anote os fatores de seu produto principal, separando-os em pares de inteiros (os pares necessários para obter o produto principal).

Exemplo: Os fatores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Escrito em pares de fatores: (1, 20), (2, 10), (4, 5)

Etapa 4. Encontre um par de fatores com soma igual a b

Observe os pares de fatores e determine o par que dará o termo b - o termo da mediana e o coeficiente x - quando somados.

Se o seu produto principal for negativo, você precisará encontrar um par de fatores que igualam o termo b quando subtraídos um do outro.
Exemplo: 2x² + 9x + 10
- b = 9
- 1 + 20 = 21; este não é o casal certo
- 2 + 10 = 12; este não é o casal certo
- 4 + 5 = 9; isto é verdadeiro parceiro

Etapa 5. Divida o termo do meio em dois fatores

Reescreva o termo do meio, separando-o nos pares de fatores que foram pesquisados anteriormente. Certifique-se de inserir o sinal correto (mais ou menos).

Observe que a ordem dos termos intermediários não é importante para esse problema. Não importa a ordem dos termos que você escrever, o resultado será o mesmo.
Exemplo: 2x² + 9x + 10 = 2x² + 5x + 4x + 10

Passo 6. Agrupe as tribos para formar pares

Agrupe os primeiros dois termos em um par e os segundos dois termos em um par.

Exemplo: 2x² + 5x + 4x + 10 = (2x² + 5x) + (4x + 10)

Etapa 7. Fatore cada par

Encontre os fatores comuns do par e calcule-os. Reescreva a equação corretamente.

Exemplo: x (2x + 5) + 2 (2x + 5)

Etapa 8. Fatore os colchetes iguais

Deve haver os mesmos colchetes binomiais entre as duas metades. Retire esses colchetes e coloque os outros termos dentro dos outros colchetes.

Exemplo: (2x + 5) (x + 2)

Etapa 9. Escreva suas respostas

Agora você tem sua resposta.

Exemplo: 2x² + 9x + 10 = (2x + 5) (x + 2)

A resposta final é: (2x + 5) (x + 2)

Exemplos Adicionais

Etapa 1. Fator:

4x² - 3x - 10

a * c = 4 * -10 = -40
Fatores de 40: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
O par correto de fatores: (5, 8); 5 - 8 = -3
4x² - 8x + 5x - 10
(4x² - 8x) + (5x - 10)
4x (x - 2) + 5 (x - 2)
(x - 2) (4x + 5)

Etapa 2. Fator:

8x² + 2x - 3

a * c = 8 * -3 = -24
Fator de 24: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
O par correto de fatores: (4, 6); 6 - 4 = 2
8x² + 6x - 4x - 3
(8x² + 6x) - (4x + 3)
2x (4x + 3) - 1 (4x + 3)
(4x + 3) (2x - 1)

Método 2 de 2: polinômios com quatro termos

Etapa 1. Observe a equação

A equação deve ter quatro termos separados. No entanto, a forma das quatro tribos pode variar.

Normalmente, você usará este método se vir uma equação polinomial semelhante a: ax³ + bx² + cx + d
A equação também pode ser semelhante a:
- axy + by + cx + d
- machado² + bx + cxy + dy
- machado⁴ + bx³ + cx² + dx
- Ou quase a mesma variação.
Exemplo: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x

Etapa 2. Fatore o maior fator comum (GCF)

Determine se os quatro termos têm algo em comum. O maior fator comum dos quatro termos, se algum dos fatores for comum, deve ser fatorado fora da equação.

Se a única coisa que os quatro termos têm em comum é o número "1", então esse termo não tem GCF e nada pode ser fatorado nesta etapa.
Ao fatorar o GCF, certifique-se de continuar a escrever o GCF na frente de sua equação enquanto trabalha. Este GCF desclassificado deve ser incluído como parte de sua resposta final para que sua resposta seja precisa.
Exemplo: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x
- Cada termo é igual a 2x, então este problema pode ser reescrito como:
- 2x (2x³ + 6x² + 3x + 9)

Etapa 3. Faça grupos menores no problema

Agrupe os dois primeiros termos e os dois segundos termos.

Se o primeiro termo do segundo grupo tiver um sinal de menos antes dele, você deve colocar o sinal de menos antes do segundo parêntese. Você deve alterar o sinal do segundo termo no segundo grupo para corresponder a ele.
Exemplo: 2x (2x³ + 6x² + 3x + 9) = 2x [(2x³ + 6x²) + (3x + 9)]

Etapa 4. Fatore o GCF de cada binômio

Identifique o GCF em cada par binomial e fatorar o GCF para estar fora do par. Reescreva esta equação corretamente.

Nesta etapa, você pode se deparar com a escolha entre fatorar números positivos ou negativos para o segundo grupo. Observe os sinais antes do segundo e quarto termos.
- Quando os dois sinais são iguais (ambos positivos ou negativos), fatorar um número positivo.
- Quando os dois sinais forem diferentes (um negativo e outro positivo), fator um número negativo.
Exemplo: 2x [(2x³ + 6x²) + (3x + 9)] = 2x²[2x²(x + 3) + 3 (x + 3)]

Etapa 5. Fatore o mesmo binômio

Os pares binomiais em ambos os colchetes devem ser iguais. Fatore este par fora da equação e, em seguida, agrupe os termos restantes em outros parênteses.

Se os binômios entre parênteses não corresponderem, verifique seu trabalho ou tente reorganizar seus termos e reagrupar a equação.
Todos os colchetes devem ser iguais. Se eles não forem iguais, o problema não será fatorado por agrupamento ou outros métodos, mesmo se você tentar qualquer método.
Exemplo: 2x²[2x²(x + 3) + 3 (x + 3)] = 2x²[(x + 3) (2x² + 3)]