Este é um artigo sobre como fatorar um polinômio de cubo. Exploraremos como fatorar usando agrupamentos, bem como usar fatores de termos independentes.
Etapa
Método 1 de 2: fatoração por agrupamento
Etapa 1. Agrupe o polinômio em duas partes
O agrupamento de um polinômio em duas metades permitirá que você divida cada parte separadamente.
Suponha que usemos um polinômio: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Dividir em (x3 + 3x2) e (- 6x - 18).
Etapa 2. Encontre os fatores que são iguais em cada seção
- De (x3 + 3x2), podemos ver que o mesmo fator é x2.
- De (- 6x - 18), podemos ver que o fator igual é -6.
Etapa 3. Retire os fatores iguais de ambos os termos
- Retire o fator x2 da primeira parte, obtemos x2(x + 3).
- Tirando o fator -6 da segunda parte, obtemos -6 (x + 3).
Etapa 4. Se cada um dos dois termos tiver o mesmo fator, você pode combinar os fatores
Você obterá (x + 3) (x2 - 6).
Etapa 5. Encontre a resposta observando as raízes da equação
Se você tem x2 nas raízes da equação, lembre-se de que os números positivos e negativos irão satisfazer a equação.
As respostas são -3, 6 e -√6
Método 2 de 2: fatoração usando termos gratuitos
Etapa 1. Reorganize a equação na forma aX3+ bX2+ cX+ d.
Suponha que usemos um polinômio: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Etapa 2. Encontre todos os fatores de "d"
A constante "d" é um número que não possui nenhuma variável, como "x", próximo a ele.
Fatores são números que podem ser multiplicados juntos para obter outro número. Nesse caso, os fatores de 10, que é "d", são: 1, 2, 5 e 10
Etapa 3. Encontre um fator que torne o polinômio igual a zero
Devemos determinar quais fatores tornam o polinômio igual a zero quando substituímos os fatores em cada "x" na equação.
-
Comece com o primeiro fator, que é 1. Substitua "1" para cada "x" na equação:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Você obterá: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Como 0 = 0 é uma afirmação verdadeira, você sabe que x = 1 é a resposta.
Etapa 4. Faça algumas configurações
Se x = 1, você pode reorganizar a instrução para torná-la um pouco diferente sem alterar seu significado.
"x = 1" é o mesmo que "x - 1 = 0". Você apenas subtrai por "1" de cada lado da equação
Etapa 5. Tire o fator raiz da equação do resto da equação
"(x - 1)" é a raiz da equação. Verifique se você pode fatorar o resto da equação. Retire os polinômios um por um.
- Você pode fatorar (x - 1) de x3? Não. Mas você pode pegar emprestado -x2 da segunda variável, então você pode fatorá-la: x2(x - 1) = x3 - x2.
- Você pode fatorar (x - 1) do restante da segunda variável? Não. Você tem que pegar emprestado um pouco da terceira variável. Você tem que pegar emprestado 3x de -7x. Isso dará o resultado -3x (x - 1) = -3x2 + 3x.
- Como você tirou 3x de -7x, a terceira variável se torna -10x e a constante é 10. Você pode fatorá-la? Sim! -10 (x - 1) = -10x + 10.
- O que você faz é definir a variável de forma que possa fatorar (x - 1) de toda a equação. Você reorganiza a equação para algo assim: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, mas a equação ainda é igual a x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Etapa 6. Continue substituindo com fatores do termo independente
Observe o número que você fatorou usando (x - 1) na etapa 5:
- x2(x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Você pode reorganizá-lo para facilitar a fatoração novamente: (x - 1) (x2 - 3x - 10) = 0.
- Aqui, você só precisa fatorar (x2 - 3x - 10). O resultado da fatoração é (x + 2) (x - 5).
Etapa 7. Sua resposta são as raízes fatoradas da equação
Você pode verificar se sua resposta está correta inserindo cada resposta, separadamente, na equação original.
- (x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0. Isso dará as respostas 1, -2 e 5.
- Insira -2 na equação: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Insira 5 na equação: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Pontas
- Não há polinômio de cubo que não possa ser fatorado usando números reais porque todo cubo sempre tem uma raiz real. Um cubo polinomial como x3 + x + 1 que tem uma raiz real irracional não pode ser fatorado em um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais. Embora possa ser fatorado pela fórmula do cubo, não pode ser reduzido como um polinômio inteiro.
- Um polinômio de cubo é o produto de três polinômios à potência de um ou o produto de um polinômio à potência de um e de um polinômio à potência de dois que não podem ser fatorados. Para situações como a última, você usa a divisão longa após encontrar o primeiro polinômio de potência para obter o segundo polinômio de potência.
