Uma fração complexa é uma fração em que o numerador, denominador ou ambos também contêm uma fração. Por esse motivo, as frações complexas às vezes são chamadas de "frações empilhadas". Simplificar frações complexas pode ser fácil ou difícil, dependendo de quantos números estão no numerador e denominador, se um dos números é uma variável ou a complexidade do número variável. Veja a Etapa 1 abaixo para começar!
Etapa
Método 1 de 2: Simplificando Frações Complexas com Multiplicação Inversa
Etapa 1. Simplifique o numerador e denominador em uma única fração, se necessário
As frações complexas nem sempre são difíceis de resolver. Na verdade, frações complexas cujos numerador e denominador contêm uma única fração são geralmente fáceis de resolver. Portanto, se o numerador ou denominador (ou ambos) de uma fração complexa contiver várias frações ou frações e um inteiro, simplifique-o para obter uma única fração no numerador e no denominador. Encontre o mínimo múltiplo comum (LCM) de duas ou mais frações.
-
Por exemplo, digamos que queremos simplificar uma fração complexa (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). Primeiro, simplificaremos o numerador e o denominador de uma fração complexa em uma única fração.
- Para simplificar o numerador, use o LCM 15 obtido multiplicando 3/5 por e 3/3. O numerador será 9/15 + 2/15, que é igual a 11/15.
- Para simplificar o denominador, usaremos o resultado LCM de 70 que é obtido multiplicando 5/7 por 10/10 e 3/10 por 7/7. O denominador será 50/70 - 21/70, que é igual a 29/70.
- Assim, a nova fração complexa é (11/15)/(29/70).
Etapa 2. Inverta o denominador para encontrar seu recíproco
Por definição, dividir um número por outro é o mesmo que multiplicar o primeiro número pelo recíproco do segundo número. Agora que temos uma fração complexa com uma única fração no numerador e no denominador, usaremos essa divisão para simplificar a fração complexa. Primeiro, encontre o recíproco da fração na parte inferior da fração complexa. Faça isso "invertendo" a fração - colocando o numerador no lugar do denominador e vice-versa.
-
Em nosso exemplo, a fração no denominador da fração complexa (11/15) / (29/70) é 29/70. Para encontrar o inverso, nós "invertemos" para obter 70/29.
Observe que, se uma fração complexa tiver um número inteiro no denominador, podemos tratá-la como uma fração e encontrar seu recíproco. Por exemplo, se a fração complexa é (11/15) / (29), podemos fazer o denominador 29/1, o que significa que o recíproco é 1/29.
Etapa 3. Multiplique o numerador da fração complexa pelo inverso do denominador
Agora que temos o recíproco do denominador da fração complexa, multiplique-o pelo numerador para obter uma única fração simples. Lembre-se de que para multiplicar duas frações, nós apenas fazemos a multiplicação cruzada - o numerador da nova fração é o número do numerador das duas frações antigas, assim como o denominador.
Em nosso exemplo, multiplicaremos 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 e 15 × 29 = 435. Assim, a nova fração simples é 770/435.
Etapa 4. Simplifique a nova fração encontrando o maior fator comum
Já temos uma fração simples, então tudo o que temos a fazer é encontrar o número mais simples. Encontre o maior fator comum (GCF) do numerador e do denominador e divida ambos por este número para simplificá-lo.
Um dos fatores comuns de 770 e 435 é 5. Então, se dividirmos o numerador e o denominador da fração por 5, obtemos 154/87. 154 e 87 não têm fatores comuns, então essa é a resposta final!
Método 2 de 2: Simplificando Frações Complexas Contendo Números Variáveis
Etapa 1. Se possível, use o método de multiplicação reversa acima
Para ficar claro, quase todas as frações complexas podem ser simplificadas subtraindo o numerador e o denominador por uma única fração e multiplicando o numerador pelo inverso do denominador. Frações complexas contendo variáveis também estão incluídas, embora quanto mais complexa for a expressão de variáveis em frações complexas, mais difícil e demorado será usar a multiplicação reversa. Para frações complexas "fáceis" contendo variáveis, a multiplicação inversa é uma boa escolha, mas frações complexas com vários números de variáveis no numerador e denominador podem ser mais fáceis de simplificar da maneira alternativa descrita abaixo.
- Por exemplo, (1 / x) / (x / 6) é fácil de simplificar por multiplicação inversa. 1 / x × 6 / x = 6 / x2. Não há necessidade de usar métodos alternativos aqui.
- No entanto, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) é mais difícil de simplificar por multiplicação inversa. Reduzir o numerador e o denominador de frações complexas a frações simples, multiplicar inversamente e reduzir o resultado aos números mais simples pode ser um processo complicado. Nesse caso, o método alternativo abaixo pode ser mais fácil.
Etapa 2. Se a multiplicação reversa não for prática, comece encontrando o MMC do número fracionário na fração complexa
A primeira etapa é encontrar o MMC de todos os números fracionários em uma fração complexa - tanto no numerador quanto no denominador. Normalmente, se um ou mais números fracionários têm um número no denominador, o MMC é o número no denominador.
Isso é mais fácil de entender com um exemplo. Vamos tentar simplificar as frações complexas mencionadas acima, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Os números fracionários nesta fração complexa são (1) / (x + 3) e (1) / (x-5). O LCM das duas frações é o número no denominador: (x + 3) (x-5).
Etapa 3. Multiplique o numerador da fração complexa pelo LCM recém-encontrado
Em seguida, temos que multiplicar o número na fração complexa pelo MMC do número fracionário. Em outras palavras, vamos multiplicar todas as frações complexas por (KPK) / (KPK). Podemos fazer isso independentemente porque (KPK) / (KPK) é igual a 1. Primeiro, multiplique os próprios numeradores.
-
Em nosso exemplo, vamos multiplicar a fração complexa, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), ou seja ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Temos que multiplicar pelo numerador e denominador da fração complexa, multiplicando cada número por (x + 3) (x-5).
-
Primeiro, vamos multiplicar os numeradores: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
- = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
- = (x-5) + (x (x.)2 - 2x - 15)) - (10 (x2 - 2x - 15))
- = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150)
- = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150
- = x3 - 12x2 + 6x +145
-
Etapa 4. Multiplique o denominador da fração complexa pelo MMC como faria com o numerador
Continue multiplicando a fração complexa pelo MMC encontrado, procedendo para o denominador. Multiplique tudo, multiplique cada número pelo LCM.
-
O denominador da nossa fração complexa, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), é x +4 + ((1) // (x-5)). Vamos multiplicar pelo LCM encontrado, (x + 3) (x-5).
- (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
- = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
- = x (x2 - 2x - 15) + 4 (x2 - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
- = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x + 3)
- = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x + 3)
- = x3 + 2x2 - 22x - 57
Etapa 5. Crie uma fração nova e simplificada a partir do numerador e denominador recém-encontrado
Depois de multiplicar a fração por (KPK) / (KPK) e simplificar combinando os números, o resultado é uma fração simples que não contém um número fracionário. Observe que ao multiplicar pelo MMC do número fracionário na fração complexa original, o denominador dessa fração será exaurido e deixará o número variável e o número inteiro no numerador e denominador da resposta, sem quaisquer frações.
Com o numerador e o denominador encontrados acima, podemos construir uma fração igual à fração complexa original, mas não contém o número fracionário. O numerador obtido é x3 - 12x2 + 6x + 145 e o denominador que obtivemos foi x3 + 2x2 - 22x - 57, então a nova fração se torna (x3 - 12x2 + 6x + 145) / (x3 + 2x2 - 22x - 57)
Pontas
- Mostre cada etapa do trabalho. As frações podem ser confusas se as etapas estiverem contando muito rápido ou tentando fazê-lo de cor.
- Encontre exemplos de frações complexas na Internet ou em livros. Siga cada passo até que possa ser dominado.
