As expressões racionais devem ser simplificadas para os mesmos fatores mais simples. Este é um processo bastante fácil se o mesmo fator for um fator de termo único, mas o processo fica um pouco mais detalhado se o fator incluir muitos termos. Aqui está o que você deve fazer, dependendo do tipo de expressão racional com que está lidando.
Etapa
Método 1 de 3: Expressões racionais mononômicas (termo único)
Etapa 1. Verifique o problema
Expressões racionais que consistem apenas em monômios (termos únicos) são as expressões mais fáceis de simplificar. Se ambos os termos da expressão tiverem apenas um termo, tudo o que você precisa fazer é simplesmente simplificar o numerador e o denominador para os mesmos termos mais baixos.
- Observe que mono significa “um” ou “único” neste contexto.
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Exemplo:
4x / 8x ^ 2
Etapa 2. Elimine quaisquer variáveis que sejam iguais
Observe as variáveis da letra na expressão. Se a mesma variável aparecer no numerador e no denominador, você pode omitir essa variável tantas vezes quanto ela aparece em ambas as partes da expressão.
- Em outras palavras, se a variável ocorre apenas uma vez na expressão no numerador e uma vez no denominador, a variável pode ser completamente omitida: x / x = 1/1 = 1
- No entanto, se uma variável ocorre várias vezes no numerador e no denominador, mas ocorre apenas pelo menos uma vez em outra parte da expressão, subtraia o expoente que a variável tem na parte menor da expressão do expoente que a variável tem em a parte maior: x ^ 4 / x ^ 2 = x ^ 2/1
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Exemplo:
x / x ^ 2 = 1 / x
Etapa 3. Simplifique as constantes em seus termos mais simples
Se as constantes de um número têm os mesmos fatores, divida a constante no numerador e a constante no denominador pelo mesmo fator, para simplificar a fração em sua forma mais simples: 8/12 = 2/3
- Se as constantes em uma expressão racional não têm os mesmos fatores, então elas não podem ser simplificadas: 7/5
- Se uma constante é divisível por outra constante, ela é considerada um fator igual: 3/6 = 1/2
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Exemplo:
4/8 = 1/2
Etapa 4. Escreva sua resposta final
Para determinar sua resposta final, você deve combinar novamente as variáveis simplificadas e constantes simplificadas.
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Exemplo:
4x / 8x ^ 2 = 1 / 2x
Método 2 de 3: Expressões racionais binomiais e polinomiais com fatores mononômicos (termo único)
Etapa 1. Verifique o problema
Se uma parte de uma expressão racional for monomial (termo único), mas a outra parte for binomial ou polinomial, pode ser necessário simplificar a expressão especificando um fator monomial (termo único) que pode ser aplicado ao numerador e denominador.
- Neste contexto, mono significa "um" ou "único", bi significa "dois" e poli significa "muitos".
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Exemplo:
(3x) / (3x + 6x ^ 2)
Etapa 2. Espalhe quaisquer variáveis que sejam iguais
Se qualquer variável de letra aparecer em todos os termos da equação, você pode incluir essa variável como parte do termo fatorado.
- Isso só se aplica se a variável ocorre em todos os termos da equação: x / x ^ 3 - x ^ 2 + x = (x) (x ^ 2 - x + 1)
- Se um dos termos da equação não tiver essa variável, você não pode fatorá-la: x / x ^ 2 + 1
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Exemplo:
x / (x + x ^ 2) = [(x) (1)] / [(x) (1 + x)]
Etapa 3. Espalhe quaisquer constantes que sejam iguais
Se as constantes numéricas em todos os termos têm os mesmos fatores, divida cada constante nos termos pelo mesmo fator, para simplificar o numerador e o denominador.
- Se uma constante é divisível por outra constante, ela é considerada um fator igual: 2 / (2 + 4) = 2 * [1 / (1 + 2)]
- Observe que isso só se aplica se todos os termos na expressão tiverem pelo menos um fator em comum: 9 / (6 - 12) = 3 * [3 / (2 - 4)]
- Isso não se aplica se algum dos termos da expressão não tiver o mesmo fator: 5 / (7 + 3)
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Exemplo:
3/(3 + 6) = [(3)(1)] / [(3)(1 + 2)]
Etapa 4. Fatore os elementos iguais
Recombine as variáveis simplificadas e constantes simplificadas para determinar o mesmo fator. Remova este fator da expressão, deixando variáveis e constantes que não são iguais em todos os termos.
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Exemplo:
(3x) / (3x + 6x ^ 2) = [(3x) (1)] / [(3x) (1 + 2x)]
Etapa 5. Escreva sua resposta final
Para determinar a resposta final, remova os fatores comuns da expressão.
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Exemplo:
[(3x) (1)] / [(3x) (1 + 2x)] = 1 / (1 + 2x)
Método 3 de 3: Expressões racionais binomiais ou polinomiais com fatores binomiais
Etapa 1. Verifique o problema
Se não houver termo monomial (termo único) na expressão racional, você deve quebrar o numerador e a fração em fatores binomiais.
- Neste contexto, mono significa "um" ou "único", bi significa "dois" e poli significa "muitos".
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Exemplo:
(x ^ 2 - 4) / (x ^ 2 - 2x - 8)
Etapa 2. Divida o numerador em seus fatores binomiais
Para quebrar o numerador em seus fatores, você deve determinar as soluções possíveis para sua variável, x.
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Exemplo:
(x ^ 2 - 4) = (x - 2) * (x + 2)
- Para encontrar o valor de x, você deve mover a constante para um lado e a variável para o outro: x ^ 2 = 4
- Simplifique x elevado à potência de um encontrando a raiz quadrada de ambos os lados: x ^ 2 = 4
- Lembre-se de que a raiz quadrada de qualquer número pode ser positiva ou negativa. Assim, as respostas possíveis para x são: - 2, +2
- Assim, ao descrever (x ^ 2 - 4) sendo os fatores, os fatores são: (x - 2) * (x + 2)
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Verifique seus fatores multiplicando-os. Se você não tiver certeza de que fatorou parte dessa expressão racional corretamente ou não, pode multiplicar esses fatores para ter certeza de que o resultado é o mesmo da expressão original. Lembre-se de usar PLDT se apropriado, usar: pprimeiro, eulado de fora, dnatural, tfim.
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Exemplo:
(x - 2) * (x + 2) = x ^ 2 + 2x - 2x - 4 = x ^ 2 - 4
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Etapa 3. Divida o denominador em seus fatores binomiais
Para quebrar o denominador em seus fatores, você deve determinar as soluções possíveis para sua variável, x.
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Exemplo:
(x ^ 2 - 2x - 8) = (x + 2) * (x - 4)
- Para encontrar o valor de x, você deve mover a constante para um lado e mover todos os termos, incluindo as variáveis, para o outro lado: x ^ 2 2x = 8
- Complete o quadrado dos coeficientes do termo x e adicione os valores a ambos os lados: x ^ 2 2x + 1 = 8 + 1
- Simplifique o lado direito e escreva o quadrado perfeito à direita: (x 1) ^ 2 = 9
- Encontre a raiz quadrada de ambos os lados: x 1 = ± √9
- Encontre o valor de x: x = 1 ± √9
- Como qualquer equação quadrática, x tem duas soluções possíveis.
- x = 1 - 3 = -2
- x = 1 + 3 = 4
- Portanto, (x ^ 2 - 2x - 8) fatorado em (x + 2) * (x - 4)
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Verifique seus fatores multiplicando-os. Se você não tiver certeza de que fatorou parte desta expressão racional corretamente ou não, pode multiplicar esses fatores para ter certeza de que o resultado é o mesmo que a expressão original. Lembre-se de usar PLDT se apropriado, usar: pprimeiro, eulado de fora, dnatural, tfim.
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Exemplo:
(x + 2) * (x - 4) = x ^ 2 - 4x + 2x - 8 = x ^ 2 - 2x - 8
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Etapa 4. Elimine os mesmos fatores
Encontre o fator binomial, se houver, que seja o mesmo tanto no numerador quanto no denominador. Remova este fator da expressão, deixando os fatores binomiais desiguais.
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Exemplo:
[(x - 2) (x + 2)] / [(x + 2) (x - 4)] = (x + 2) * [(x - 2) / (x - 4)]
Etapa 5. Escreva sua resposta final
Para determinar a resposta final, remova os fatores comuns da expressão.
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Exemplo:
(x + 2) * [(x - 2) / (x - 4)] = (x - 2) / (x - 4)
