Uma equação racional é uma fração com uma ou mais variáveis no numerador ou denominador. Uma equação racional é qualquer fração que envolve pelo menos uma equação racional. Como as equações algébricas comuns, as equações racionais são resolvidas realizando a mesma operação em ambos os lados da equação até que as variáveis possam ser transferidas para qualquer um dos lados da equação. Duas técnicas especiais, multiplicação cruzada e encontrar o mínimo denominador comum, são maneiras muito úteis de mover variáveis e resolver equações racionais.
Etapa
Método 1 de 2: multiplicação cruzada
Etapa 1. Se necessário, reorganize sua equação para obter uma fração em um lado da equação
A multiplicação cruzada é uma maneira rápida e fácil de resolver equações racionais. Infelizmente, esse método só pode ser usado para equações racionais que contêm pelo menos uma equação ou fração racional em cada lado da equação. Se sua equação não atender a esses requisitos de produto cruzado, talvez você precise usar operações algébricas para mover as peças para os lugares certos.
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Por exemplo, a equação (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 pode ser facilmente colocada na forma de produto vetorial adicionando x / (- 2) a ambos os lados da equação, de modo que se torne (x + 3) / 4 = x / (- 2).
Observe que os números decimais e inteiros podem ser convertidos em frações, dando-se o denominador 1. (x + 3) / 4 - 2, 5 = 5, por exemplo, pode ser reescrito como (x + 3) / 4 = 7, 5 / 1, fazendo com que satisfaça a condição de multiplicação cruzada
- Algumas equações racionais não podem ser facilmente reduzidas a uma forma que tenha uma fração ou equação racional em cada lado. Nesses casos, use a mesma abordagem do mínimo denominador.
Etapa 2. Multiplicação cruzada
Multiplicação cruzada significa multiplicar um dos numeradores de uma fração pelo denominador de outra fração e vice-versa. Multiplique o numerador da fração à esquerda pelo denominador da fração à direita. Repita com o denominador direito com o denominador esquerdo.
A multiplicação cruzada funciona de acordo com os princípios algébricos básicos. Equações racionais e outras frações podem ser transformadas em não frações multiplicando-as pelo denominador. O produto vetorial é basicamente uma maneira rápida de multiplicar os dois lados de uma equação por ambos os denominadores. Não acredite? Experimente - você obterá o mesmo resultado depois de simplificá-lo
Etapa 3. Faça os dois produtos iguais um ao outro
Após a multiplicação cruzada, você obterá dois resultados de multiplicação. Torne-os iguais entre si e simplifique para tornar a equação o mais simples possível.
Por exemplo, se sua equação racional original era (x + 3) / 4 = x / (- 2), após a multiplicação cruzada, sua nova equação se torna -2 (x + 3) = 4x. Se desejar, você também pode escrever -2x - 6 = 4x
Etapa 4. Encontre o valor de sua variável
Use operações algébricas para encontrar o valor da variável da sua equação. Lembre-se de que, se x aparecer em ambos os lados da equação, você deve adicionar ou subtrair x de ambos os lados da equação para deixar x em apenas um lado da equação.
Em nosso exemplo, podemos dividir ambos os lados da equação por -2, então x + 3 = -2x. Subtraindo x de ambos os lados resulta 3 = -3x. Finalmente, dividindo ambos os lados por -3, o resultado se torna -1 = x, que pode ser escrito como x = -1. Encontramos o valor de x, resolvendo nossa equação racional
Método 2 de 2: Encontrando o Menor Denominador Comum
Etapa 1. Saiba a hora exata para usar o mesmo denominador menor
O mesmo denominador menor pode ser usado para simplificar equações racionais, tornando-as pesquisáveis para valores de variáveis. Encontrar o mínimo denominador comum é uma boa ideia se sua equação racional não puder ser escrita facilmente em termos de uma fração (e apenas uma fração) em cada lado da equação. Para resolver equações racionais com três ou mais partes, o mínimo denominador comum é útil. No entanto, para resolver uma equação racional com apenas duas partes, é mais rápido usar o produto vetorial.
Etapa 2. Verifique o denominador de cada fração
Identifique o menor número que cada denominador pode dividir e produzir um número inteiro. Este número é o mínimo denominador comum para sua equação.
- Às vezes, o menor denominador comum - ou seja, o menor número que contém todos os fatores no denominador - é claramente visível. Por exemplo, se sua equação é x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, não é difícil ver o menor número que tem um fator de 3, 2 e 6, que é o número 6.
- No entanto, muitas vezes, o mínimo denominador comum de uma equação racional não é claramente visível. Em um caso como este, tente verificar os múltiplos do denominador maior até encontrar um número que tenha um fator de todos os outros denominadores menores. Freqüentemente, o mínimo denominador comum é o produto de dois denominadores. Por exemplo, na equação x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9, o mínimo denominador comum é 8 * 9 = 72.
- Se um ou mais denominadores de sua fração tiverem variáveis, esse processo será mais difícil, mas possível de ser feito. Em um caso como esse, o mínimo denominador comum é uma equação (com uma variável) que é divisível por todos os outros denominadores. Por exemplo, na equação 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), o mínimo denominador comum é 3x (x-1) porque qualquer denominador pode dividi-lo - dividir por (x-1) resulta em 3x, dividir por 3x resulta em (x-1) e dividir por x resulta em 3 (x-1).
Etapa 3. Multiplique cada fração da equação racional por 1
Multiplicar cada parte por 1 parece inútil. Mas aqui está o truque. 1 pode ser definido como qualquer número igual no numerador e no denominador, como -2/2 e 3/3, que é a maneira correta de escrever 1. Este método tira proveito da definição alternativa. Multiplique cada fração em sua equação racional por 1, anotando o número 1 que, quando multiplicado pelo denominador, resulta no menor denominador comum.
- Em nosso exemplo básico, vamos multiplicar x / 3 por 2/2 para obter 2x / 6 e multiplicar 1/2 por 3/3 para obter 3/6. 2x + 1/6 já tem o mesmo denominador menor, que é 6, então podemos multiplicar por 1/1 ou deixar como está.
- Em nosso exemplo com uma variável no denominador da fração, o processo é um pouco mais complicado. Como nosso menor denominador é 3x (x-1), multiplicamos cada equação racional por algo que retorna 3x (x-1). Multiplicaremos 5 / (x-1) por (3x) / (3x) que resulta em 5 (3x) / (3x) (x-1), multiplicaremos 1 / x por 3 (x-1) / 3 (x- 1) que dá 3 (x-1) / 3x (x-1), e multiplicando 2 / (3x) por (x-1) / (x-1) dá 2 (x-1) / 3x (x- 1)
Etapa 4. Simplifique e encontre o valor de x
Agora, como cada parte de sua equação racional tem o mesmo denominador, você pode remover o denominador de sua equação e resolver para o numerador. Multiplique os dois lados da equação para obter o valor do numerador. Em seguida, use operações algébricas para encontrar o valor de x (ou qualquer variável que você deseja resolver) em um lado da equação.
- Em nosso exemplo básico, depois de multiplicar todas as partes pela forma alternativa 1, obtemos 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Duas frações podem ser adicionadas se tiverem o mesmo denominador, então podemos simplificar esta equação para (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 sem alterar o valor. Multiplique ambos os lados por 6 para remover o denominador, de modo que o resultado seja 2x + 3 = 3x + 1. Subtraia 1 de ambos os lados para obter 2x + 2 = 3x e subtraia 2x de ambos os lados para obter 2 = x, que pode ser escrito como x = 2.
- Em nosso exemplo com uma variável no denominador, nossa equação depois de multiplicar por 1 torna-se 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Multiplicando todas as partes pelo mesmo menor denominador, permitindo-nos omitir o denominador, torna-se 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Isso também se aplica a 5x = 3x - 3 + 2x -2, o que simplifica para 15x = x - 5. Subtraindo x de ambos os lados dá 14x = -5, que, no final, simplifica para x = -5/14.
Pontas
- Depois de resolver a variável, verifique sua resposta inserindo o valor da variável na equação original. Se o valor da sua variável estiver correto, você pode simplificar sua equação original em uma declaração simples que sempre é igual a 1 = 1.
- Observe que você pode escrever qualquer polinômio como uma equação racional; coloque-o acima do denominador 1. Portanto, x + 3 e (x + 3) / 1 têm o mesmo valor, mas a segunda equação pode ser classificada como uma equação racional porque é escrita como uma fração.
