Aprender como simplificar expressões algébricas é uma das chaves para dominar a álgebra básica e a ferramenta mais útil que qualquer matemático precisa ter. A simplificação permite que os matemáticos convertam expressões complexas, longas e / ou ímpares em expressões equivalentes mais simples ou fáceis. As habilidades básicas de simplificação são muito fáceis de aprender - mesmo para aqueles que odeiam matemática. Seguindo alguns passos simples, é possível simplificar muitos dos tipos de expressões algébricas mais usados, sem usar nenhum conhecimento especial de matemática. Confira a Etapa 1 para começar!
Etapa
Compreendendo conceitos importantes
Etapa 1. Agrupe os termos semelhantes de acordo com suas variáveis e poderes
Em álgebra, termos semelhantes têm a mesma configuração de variável, com o mesmo poder. Em outras palavras, para que dois termos sejam iguais, eles devem ter a mesma variável, ou nenhuma variável, e cada variável tem o mesmo poder, ou nenhum expoente. A ordem das variáveis em termos não é importante.
Por exemplo, 3x2 e 4x2 são termos semelhantes porque ambos têm uma variável x com a potência do quadrado. No entanto, x e x2 não são termos semelhantes porque cada termo tem uma variável x com uma potência diferente. Quase iguais, -3yx e 5xz não são termos semelhantes porque cada termo tem uma variável diferente.
Etapa 2. Fatorar escrevendo o número como o produto dos dois fatores
Fatoração é o conceito de escrever um determinado número como o produto de dois fatores sendo multiplicados. Os números podem ter mais de um conjunto de fatores - por exemplo, 12 pode ser obtido de 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4, então podemos dizer que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são fatores de 12 Outra maneira de imaginar isso é que os fatores de um número são os números que dividem o número inteiro.
- Por exemplo, se quiséssemos fatorar 20, poderíamos escrever como 4 × 5.
- Observe que os termos variáveis também podem ser fatorados. -20x, por exemplo, pode ser escrito como 4 (5x).
- Os números primos não podem ser fatorados porque só podem ser divididos por eles mesmos e 1.
Etapa 3. Use a sigla KaPaK BoTaK para lembrar a ordem das operações
Às vezes, simplificar uma expressão simplesmente resolve a operação na equação até que ela não seja mais viável. Nestes casos, é muito importante lembrar a ordem das operações para que não ocorram erros aritméticos. A sigla KaPaK BoTaK o ajudará a lembrar a ordem das operações - as letras indicam os tipos de operações que você deve realizar, na ordem:
- Kfalhou
- Pelevar
- Ktodos
- Bnovamente
- Tadicionar
- Kcamarão
Método 1 de 3: mesclar termos semelhantes
Etapa 1. Escreva sua equação
As equações algébricas mais simples, envolvendo apenas alguns termos variáveis com coeficientes inteiros e sem frações, raízes, etc., muitas vezes podem ser resolvidas em apenas algumas etapas. Para a maioria dos problemas matemáticos, o primeiro passo para simplificar sua equação é anotá-la!
Como um exemplo de problema, para as próximas etapas, usamos a expressão 1 + 2x - 3 + 4x.
Etapa 2. Identifique tribos semelhantes
Em seguida, procure termos semelhantes em sua equação. Lembre-se de que termos semelhantes têm a mesma variável e expoente.
Por exemplo, vamos identificar termos semelhantes em nossa equação 1 + 2x - 3 + 4x. 2x e 4x ambos têm a mesma variável com a mesma potência (neste caso, x não tem expoente). Além disso, 1 e -3 são termos semelhantes porque não têm variáveis. Então, em nossa equação, 2x e 4x e 1 e -3 são tribos semelhantes.
Etapa 3. Combine termos semelhantes
Agora que você identificou termos semelhantes, pode combiná-los para simplificar sua equação. Adicione os termos (ou subtraia no caso de termos negativos) para reduzir o conjunto de termos com a mesma variável e expoente a um termo igual.
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Vamos adicionar termos semelhantes em nosso exemplo.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Etapa 4. Crie uma equação mais simples a partir dos termos simplificados
Depois de combinar seus termos semelhantes, faça uma equação a partir do novo conjunto menor de termos. Você obterá uma equação mais simples, que tem um termo para os diferentes conjuntos de variáveis e potências na equação original. Esta nova equação é equivalente à equação original.
Em nosso exemplo, nossos termos simplificados são 6x e -2, então nossa nova equação é 6x - 2. Esta equação simples é equivalente à original (1 + 2x - 3 + 4x), mas mais curta e fácil de trabalhar. Também é mais fácil de fatorar, o que veremos a seguir, que é outra habilidade de simplificação importante.
Etapa 5. Siga a ordem das operações ao combinar termos semelhantes
Em equações muito simples, como a que trabalhamos no problema do exemplo acima, é fácil identificar os termos semelhantes. No entanto, em equações mais complexas, como expressões envolvendo termos entre parênteses, frações e raízes, como termos que podem ser combinados podem não ser claramente visíveis. Nesses casos, siga a ordem das operações, executando operações nos termos de sua expressão conforme necessário até que as operações de adição e subtração permaneçam.
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Por exemplo, vamos usar a equação 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x. Seria errado considerar imediatamente 3x e 2x como termos semelhantes e combiná-los porque os parênteses na expressão indicam que temos que fazer outras operações primeiro. Primeiro, realizamos operações aritméticas na expressão na ordem das operações para obter os termos que podemos usar. Veja o seguinte:
- 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Agora, como as únicas operações restantes são adição e subtração, podemos combinar termos semelhantes.
- x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- x2 + 12x + 3
Método 2 de 3: fatoração
Etapa 1. Identifique o maior fator comum na expressão
O fatoração é uma maneira de simplificar uma expressão removendo os fatores que são iguais em todos os termos semelhantes na expressão. Para começar, encontre o maior fator comum que todos os termos têm - em outras palavras, o maior número que divide todos os termos na expressão inteira.
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Vamos usar a equação 9x.2 + 27x - 3. Observe que cada termo nesta equação é divisível por 3. Uma vez que os termos não são divisíveis por nenhum número maior, podemos dizer que
Etapa 3. é o nosso maior fator comum.
Etapa 2. Divida os termos na expressão pelo maior fator comum
Em seguida, divida cada termo em sua equação pelo maior fator comum que você acabou de encontrar. Os termos quocientes terão um coeficiente menor do que a equação original.
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Vamos fatorar nossa equação por seu maior fator comum, 3. Para fazer isso, vamos dividir cada termo por 3.
- 9x2/ 3 = 3x2
- 27x / 3 = 9x
- -3/3 = -1
- Assim, nossa nova expressão é 3x2 + 9x - 1.
Etapa 3. Escreva sua expressão como o produto do maior fator comum multiplicado pelos termos restantes
Sua nova expressão não é equivalente à sua expressão original, portanto, seria incorreto dizer que a expressão foi simplificada. Para tornar nossa nova expressão igual à original, devemos incluir o fato de que nossa expressão foi dividida pelo maior fator comum. Coloque sua nova expressão entre parênteses e escreva o maior fator comum da equação original como o coeficiente de expressão entre parênteses.
Para nossa equação de exemplo, 3x2 + 9x - 1, podemos colocar a expressão entre parênteses e multiplicá-la pelo maior fator comum da equação original para obter 3 (3x2 + 9x - 1). Esta equação é equivalente à equação original, 9x2 + 27x - 3.
Etapa 4. Use a fatoração para simplificar as frações
Você pode estar se perguntando por que a fatoração é usada, se mesmo depois de remover o maior fator comum, a nova expressão precisa ser multiplicada novamente por esse fator. Na verdade, a fatoração permite que os matemáticos realizem vários truques para simplificar as expressões. Um de seus truques mais fáceis tira proveito do fato de que multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número pode produzir frações equivalentes. Veja o seguinte:
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Diga nossa expressão de exemplo inicial, 9x2 + 27x - 3, é o quantificador da fração maior com 3 como numerador. A fração ficará assim: (9x2 + 27x - 3) / 3. Podemos usar fatoração para simplificar as frações.
- Vamos substituir a forma de fatoração da nossa expressão original pela expressão no numerador: (3 (3x2 + 9x - 1)) / 3
- Observe que agora, tanto o numerador quanto o denominador têm um coeficiente de 3. Dividindo o numerador e o denominador por 3, obtemos: (3x2 + 9x - 1) / 1.
- Como qualquer fração com denominador 1 é equivalente aos termos do numerador, podemos dizer que nossa fração inicial pode ser simplificada para 3x2 + 9x - 1.
Método 3 de 3: Aplicando habilidades adicionais de simplificação
Etapa 1. Simplifique as frações dividindo pelos mesmos fatores
Conforme observado acima, se o numerador e o denominador de uma equação tiverem os mesmos fatores, esses fatores podem ser completamente omitidos na fração. Às vezes, isso exigirá a fatoração do numerador, denominador ou ambos (como é o caso no exemplo do problema acima), enquanto às vezes os mesmos fatores costumam ser óbvios. Observe que também é possível dividir os termos do numerador pela equação no denominador, um por um, para obter uma expressão simples.
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Vamos trabalhar em um exemplo que não requer fatoração. Para frações (5x2 + 10x + 20) / 10, podemos dividir cada termo do numerador por 10 para simplificar, mesmo que o coeficiente seja 5 em 5x2 não é maior que 10 e, portanto, 10 não é um fator.
Se o fizermos, obteremos ((5x2) / 10) + x + 2. Se quiséssemos, poderíamos reescrever o primeiro termo como (1/2) x2 então obtemos (1/2) x2 + x + 2.
Etapa 2. Use os fatores ao quadrado para simplificar as raízes
A expressão sob o sinal de raiz é chamada de expressão de raiz. Esta expressão pode ser simplificada identificando os fatores quadrados (fatores que são quadrados de inteiros) e executando a operação de raiz quadrada separadamente para removê-los sob o sinal de raiz quadrada.
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Vamos fazer um exemplo simples - (90). Se pensarmos em 90 como o produto de seus dois fatores, 9 e 10, podemos pegar a raiz quadrada de 9, que é o inteiro 3, e removê-la do sinal do radical. Em outras palavras:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Etapa 3. Adicione expoentes ao multiplicar dois expoentes; subtrair ao dividir
Algumas expressões algébricas requerem a multiplicação ou divisão de termos de potência. Em vez de calcular ou dividir cada expoente manualmente, basta adicionar os expoentes ao multiplicar e subtrair ao dividir para economizar tempo. Este conceito também pode ser usado para simplificar expressões de variáveis.
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Por exemplo, vamos usar a expressão 6x3 × 8x4 + (x17/ x15) Em qualquer evento onde a multiplicação ou divisão de expoentes é necessária, iremos subtrair ou adicionar expoentes, respectivamente, para encontrar rapidamente o termo simples. Veja o seguinte:
- 6x3 × 8x4 + (x17/ x15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 + x2
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Para uma explicação de como funciona, veja abaixo:
- Multiplicar termos em expoentes é, na verdade, como multiplicar termos não em expoentes longos. Por exemplo, porque x3 = x × x × x e x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ou x8.
- Quase o mesmo, dividir expoentes é como dividir termos, não expoentes longos. x5/ x3 = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Uma vez que cada termo no numerador pode ser riscado encontrando o mesmo termo no denominador, há apenas dois xs restantes no numerador e nada deixado na parte inferior, dando a resposta x2.
Pontas
- Lembre-se sempre de que você deve imaginar esses números como tendo sinais positivos e negativos. Muitas pessoas param para pensar sobre que Sinal devo colocar aqui?
- Peça ajuda se precisar!
- Simplificar as expressões algébricas não é fácil, mas depois de entendê-las, você as usará pelo resto da vida.
Aviso
- Sempre procure tribos semelhantes e não se deixe enganar pelo posto.
- Certifique-se de não adicionar números, poderes ou operações que não deveriam ser inadvertidamente.
