A forma da raiz é uma declaração algébrica que tem o sinal da raiz quadrada (ou raiz cúbica ou superior). Esta forma pode geralmente representar dois números que têm o mesmo valor, embora possam parecer diferentes à primeira vista (por exemplo, 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Portanto, precisamos de uma "fórmula padrão" para esse tipo de formulário. Se houver duas afirmações, ambas na fórmula padrão, que parecem diferentes, elas não são iguais. Os matemáticos concordam que a formulação padrão da forma quadrática cumpre os seguintes requisitos:
- Evite usar frações
- Não use potências fracionárias
- Evite usar a forma de raiz no denominador
- Não contém a multiplicação de duas formas de raiz
- Os números na raiz não podem mais ser enraizados
Um uso prático disso é em exames de múltipla escolha. Quando você encontrar uma resposta, mas sua resposta não for igual às opções disponíveis, tente simplificá-la em uma fórmula padrão. Como os formuladores de perguntas geralmente escrevem as respostas em fórmulas padrão, faça o mesmo com suas respostas para que correspondam às deles. Nas questões dissertativas, comandos como "simplifique sua resposta" ou "simplifique todas as raízes" significam que os alunos devem realizar as etapas a seguir até que atinjam a fórmula padrão acima. Esta etapa também pode ser usada para resolver equações, embora alguns tipos de equações sejam mais fáceis de resolver em fórmulas não padrão.
Etapa
Passo 1. Se necessário, revise as regras para raízes operacionais e expoentes (ambos são iguais - raízes são potências de frações), pois precisamos delas neste processo
Também revise as regras para simplificar polinômios e formas racionais, pois precisaremos simplificá-los.
Método 1 de 6: quadrados perfeitos
Etapa 1. Simplifique todas as raízes contendo quadrados perfeitos
Um quadrado perfeito é o produto de um número por si só, por exemplo 81, que é um produto de 9 x 9. Para simplificar um quadrado perfeito, basta remover a raiz quadrada e anotar a raiz quadrada do número.
- Por exemplo, 121 é um quadrado perfeito porque 11 x 11 é igual a 121. Portanto, você pode simplificar a raiz (121) para 11, removendo o sinal de raiz.
- Para tornar esta etapa mais fácil, você precisará se lembrar dos primeiros doze quadrados perfeitos: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Etapa 2. Simplifique todas as raízes contendo cubos perfeitos
Um cubo perfeito é o produto da multiplicação de um número por ele mesmo duas vezes, por exemplo 27, que é o produto de 3 x 3 x 3. Para simplificar a forma da raiz de um cubo perfeito, basta remover a raiz quadrada e anotar a raiz quadrada do número.
Por exemplo, 343 é um cubo perfeito porque é o produto de 7 x 7 x 7. Portanto, a raiz cúbica de 343 é 7
Método 2 de 6: convertendo frações em raízes
Ou mudando ao contrário (às vezes ajuda), mas não os misture na mesma instrução de root (5) + 5 ^ (3/2). Assumiremos que você deseja usar a forma raiz e usaremos os símbolos raiz (n) para a raiz quadrada e sqrt ^ 3 (n) para a raiz cúbica.
Etapa 1. Leve um à potência da fração e converta-o para a forma da raiz, por exemplo x ^ (a / b) = raiz à potência b de x ^ a
Se a raiz quadrada estiver em forma de fração, converta-a para a forma regular. Por exemplo, raiz quadrada (2/3) de 4 = raiz (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
Etapa 2. Converta expoentes negativos em frações, por exemplo x ^ -y = 1 / x ^ y
Esta fórmula se aplica apenas a expoentes constantes e racionais. Se você estiver lidando com uma forma como 2 ^ x, não a altere, mesmo que o problema indique que x pode ser uma fração ou um número negativo
Etapa 3. Mesclar a mesma tribo e simplificar a forma racional resultante.
Método 3 de 6: Eliminando Frações nas Raízes
A fórmula padrão requer que a raiz seja um número inteiro.
Etapa 1. Observe o número sob a raiz quadrada se ele ainda contém uma fração
Se ainda, …
Etapa 2. Mude para uma fração que consiste em duas raízes usando a raiz de identidade (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
Não use essa identidade se o denominador for negativo ou se for uma variável que pode ser negativa. Nesse caso, simplifique a fração primeiro
Etapa 3. Simplifique cada quadrado perfeito do resultado
Ou seja, converta sqrt (5/4) em sqrt (5) / sqrt (4) e simplifique para sqrt (5) / 2.
Etapa 4. Use outros métodos de simplificação, como simplificar frações complexas, combinar termos iguais, etc
Método 4 de 6: Combinando Raízes de Multiplicação
Etapa 1. Se você estiver multiplicando uma forma de raiz por outra, combine as duas em uma raiz quadrada usando a fórmula:
sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab). Por exemplo, altere root (2) * root (6) para root (12).
- A identidade acima, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab), é válida se o número sob o sinal de sqrt não for negativo. Não use esta fórmula quando aeb são negativos porque você cometerá o erro de fazer sqrt (-1) * sqrt (-1) = sqrt (1). A afirmação à esquerda é igual a -1 (ou indefinida se você não usar números complexos), enquanto a afirmação à direita é +1. Se a e / ou b forem negativos, primeiro "altere" o sinal como sqrt (-5) = i * sqrt (5). Se a forma sob o sinal da raiz for uma variável cujo sinal é desconhecido do contexto ou pode ser positivo ou negativo, deixe-o como está por enquanto. Você pode usar a identidade mais geral, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (sgn (a)) * sqrt (sgn (b)) * sqrt (| ab |) que se aplica a todos os números reais a e b, mas geralmente essa fórmula não ajuda muito porque adiciona complexidade ao uso da função sgn (signum).
- Essa identidade só é válida se as formas das raízes tiverem o mesmo expoente. Você pode multiplicar diferentes raízes quadradas, como sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7), convertendo-as na mesma raiz quadrada. Para fazer isso, converta temporariamente a raiz quadrada em uma fração: sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). Em seguida, use a regra de multiplicação para multiplicar os dois até a raiz quadrada de 6125.
Método 5 de 6: Removendo o Fator Quadrado da Raiz
Etapa 1. Considerar raízes imperfeitas em fatores primários
Um fator é um número que, quando multiplicado por outro número, forma um número - por exemplo, 5 e 4 são dois fatores de 20. Para quebrar raízes imperfeitas, escreva todos os fatores do número (ou tantos quanto possível, se o número é muito grande) até encontrar um quadrado perfeito.
Por exemplo, tente encontrar todos os fatores de 45: 1, 3, 5, 9, 15 e 45. 9 é um fator de 45 e também é um quadrado perfeito (9 = 3 ^ 2). 9 x 5 = 45
Etapa 2. Remova todos os multiplicadores que são quadrados perfeitos de dentro da raiz quadrada
9 é um quadrado perfeito porque é o produto de 3 x 3. Tire o 9 da raiz quadrada e substitua-o por 3 na frente da raiz quadrada, deixando 5 dentro da raiz quadrada. Se você "colocar" 3 de volta na raiz quadrada, multiplique por ele mesmo para fazer 9, e se você multiplicar por 5, ele retorna 45. 3 raízes de 5 é uma maneira simples de expressar a raiz de 45.
Ou seja, sqrt (45) = sqrt (9 * 5) = sqrt (9) * sqrt (5) = 3 * sqrt (5)
Etapa 3. Encontre o quadrado perfeito na variável
A raiz quadrada de a ao quadrado é | a |. Você pode simplificar isso para apenas "a" se a variável conhecida for positiva. A raiz quadrada de a elevado à potência de 3 quando dividido até a raiz quadrada de a ao quadrado vezes a - lembre-se de que os expoentes somam quando multiplicamos dois números à potência de a, então a ao quadrado vezes a é igual a terceiro poder.
Portanto, um quadrado perfeito na forma de um cubo é um quadrado
Etapa 4. Remova a variável que contém o quadrado perfeito da raiz quadrada
Agora, pegue a ao quadrado da raiz quadrada e mude para | a |. A forma simples da raiz a elevada à potência de 3 é | a | root a.
Etapa 5. Combine os termos iguais e simplifique todas as raízes dos resultados do cálculo
Método 6 de 6: racionalizar o denominador
Etapa 1. A fórmula padrão requer que o denominador seja um inteiro (ou um polinômio se contiver uma variável) tanto quanto possível
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Se o denominador consiste em um termo sob o sinal de raiz, como […] / raiz (5), então multiplique o numerador e o denominador por essa raiz para obter […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * raiz (5) / 5.
Para raízes cúbicas ou superiores, multiplique pela raiz apropriada para que o denominador seja racional. Se o denominador for root ^ 3 (5), multiplique o numerador e o denominador por sqrt ^ 3 (5) ^ 2
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Se o denominador consiste em somar ou subtrair duas raízes quadradas, como sqrt (2) + sqrt (6), multiplique o quantificador e o denominador pelo seu conjugado, que tem a mesma forma, mas com o sinal oposto. Então […] / (root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6)) / (root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). Em seguida, use a fórmula de identidade para a diferença de dois quadrados [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2] para racionalizar o denominador, para simplificar (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2) ^ 2 - sqrt (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- Isso também se aplica a denominadores como 5 + sqrt (3) porque todos os inteiros são raízes de outros inteiros. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2-sqrt (3) ^ 2) = (5-sqrt (3)) / (25-3) = (5-sqrt (3)) / 22]
- Este método também se aplica à adição de raízes como sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). Se você agrupá-los em (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) e multiplicar por (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7), a resposta não está na forma racional, mas ainda em a + b * raiz (30) onde aeb já são números racionais. Em seguida, repita o processo com os conjugados a + b * sqrt (30) e (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) será racional. Em essência, se você pode usar este truque para remover um sinal de raiz no denominador, você pode repeti-lo muitas vezes para remover todas as raízes.
- Esse método também pode ser usado para denominadores que contêm uma raiz mais alta, como a quarta raiz de 3 ou a sétima raiz de 9. Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Infelizmente, não podemos obter diretamente o conjugado do denominador e é difícil fazer isso. Podemos encontrar a resposta em um livro de álgebra sobre teoria dos números, mas não vou entrar nisso.
Etapa 2. Agora o denominador está na forma racional, mas o numerador parece uma bagunça
Agora tudo que você precisa fazer é multiplicar pelo conjugado do denominador. Vá em frente e multiplique como nós multiplicaríamos polinômios. Verifique se algum termo pode ser omitido, simplificado ou combinado, se possível.
Etapa 3. Se o denominador for um número inteiro negativo, multiplique o numerador e o denominador por -1 para torná-lo positivo
Pontas
- Você pode pesquisar online por sites que podem ajudar a simplificar os formulários raiz. Basta digitar a equação com o sinal da raiz e, após pressionar Enter, aparecerá a resposta.
- Para perguntas mais simples, você não pode usar todas as etapas neste artigo. Para questões mais complexas, pode ser necessário usar várias etapas mais de uma vez. Use as etapas "simples" algumas vezes e verifique se sua resposta se encaixa nos critérios de formulação padrão que discutimos anteriormente. Se sua resposta estiver na fórmula padrão, você concluiu; mas se não, você pode verificar uma das etapas acima para ajudá-lo a fazer isso.
- A maioria das referências à "fórmula padrão recomendada" para a forma de raízes também se aplica a números complexos (i = raiz (-1)). Mesmo se uma declaração contiver um "i" em vez de uma raiz, evite denominadores que ainda contenham um i tanto quanto possível.
- Algumas das instruções neste artigo presumem que todas as raízes são quadrados. Os mesmos princípios gerais se aplicam às raízes das potências superiores, embora algumas partes (especialmente a racionalização do denominador) possam ser bastante difíceis de trabalhar. Decida você mesmo o formato que deseja, como sqr ^ 3 (4) ou sqr ^ 3 (2) ^ 2. (Não me lembro qual a forma geralmente sugerida nos livros didáticos).
- Algumas das instruções neste artigo usam a palavra "fórmula padrão" para descrever "forma regular". A diferença é que a fórmula padrão aceita apenas a forma 1 + sqrt (2) ou sqrt (2) +1 e considera as outras formas como não padrão; A forma simples assume que você, leitor, é inteligente o suficiente para ver a "similaridade" desses dois números, embora eles não sejam idênticos na escrita ('mesmo' significa em sua propriedade aritmética (adição comutativa), não em sua propriedade algébrica (raiz (2) é a raiz não negativa de x ^ 2-2)). Esperamos que os leitores entendam o leve descuido no uso desta terminologia.
- Se alguma das pistas parecer ambígua ou contraditória, execute todas as etapas que não sejam ambíguas e consistentes e, em seguida, escolha a forma de sua preferência.
