Os quadrados mágicos se tornaram populares com a invenção de jogos matemáticos como o Sudoku. Um quadrado mágico é um arranjo de números em um quadrado de forma que a soma de cada linha, coluna e diagonal seja igual a um número fixo, chamado de "constante mágica". Este artigo explicará como resolver todos os tipos de quadrados mágicos, tanto em ordem ímpar, quanto em ordem até não múltipla de quatro, ou ordem até múltipla de quatro.
Etapa
Método 1 de 3: Resolvendo quadrados mágicos de ordem ímpar
Etapa 1. Calcule a constante mágica
Você pode encontrar esse número usando uma fórmula matemática simples, onde n = o número de linhas ou colunas no quadrado mágico. Por exemplo, para um quadrado mágico 3x3, então n = 3. Constante mágica = [n * (n * n + 1)] / 2. Assim, no exemplo com um quadrado 3x3:
- Soma = [3 * (3 * 3 + 1)] / 2
- Soma = [3 * (9 + 1)] / 2
- Quantidade = (3 * 10) / 2
- Quantidade = 30/2
- A constante mágica para um quadrado mágico 3x3 é 30/2, que é 15.
- Todas as linhas, colunas e diagonais devem somar a este número.
Etapa 2. Coloque o número 1 no quadrado do meio na linha superior
É aqui que você sempre começa para os quadrados mágicos de ordem ímpar, não importa o quão grande ou pequeno sejam os quadrados mágicos. Portanto, se você tiver um quadrado mágico 3x3, coloque 1 no quadrado 2 (segundo quadrado da esquerda ou direita). Outro exemplo, para um quadrado mágico de 15x15, coloque o número 1 no quadrado 8 (o oitavo quadrado da esquerda ou direita).
Etapa 3. Preencha os números restantes usando o padrão "um quadrado para cima, um quadrado para a direita"
Você sempre inserirá os números sequencialmente (1, 2, 3, 4 e assim por diante) movendo uma linha para cima e uma coluna para a direita. Logo você notará que para colocar o número 2, você passará pela linha superior, para fora do quadrado mágico. Não importa, porque, embora você sempre insira os números em um quadrado acima, à direita desta caixa, há três exceções que também têm regras padronizadas e previsíveis:
- Se o movimento do preenchimento do número leva você a uma caixa que passa pela linha superior do quadrado mágico, então permaneça na coluna desse quadrado, mas coloque o número na linha inferior dessa coluna.
- Se o movimento da numeração leva você a uma caixa que passa pela coluna mais à direita do quadrado mágico, então permaneça na linha desse quadrado, mas coloque os números na coluna mais à esquerda dessa linha.
- Se o movimento de preencher os números o fizer ir para uma caixa que foi preenchida, volte para a caixa anterior que foi preenchida e coloque o próximo número sob essa caixa.
Método 2 de 3: Resolvendo quadrados mágicos de ordem par, não múltiplos de quatro
Etapa 1. Entenda o que significa um quadrado mágico de ordem par, não um múltiplo de quatro
Todo mundo sabe que os números pares são divisíveis por dois, mas em quadrados mágicos, existem diferentes metodologias para resolver quadrados de ordem par que não são múltiplos de quatro (quadrado mágico par individualmente) e aqueles que são múltiplos de quatro (quadrado mágico duplamente par).
- Quadrados de ordem par que não são múltiplos de quatro têm um número de quadrados em cada lado que são divisíveis por dois, mas não por quatro.
- Quadrados mágicos de ordem par que não são múltiplos de quatro são os menores é 6x6, porque quadrados mágicos 2x2 não podem ser criados.
Etapa 2. Calcule a constante mágica
Use o mesmo método que faria com um quadrado mágico de ordem ímpar: a constante mágica = [n * (n * n + 1)] / 2, onde n = o número de quadrados em cada lado. Portanto, no exemplo de um quadrado mágico 6x6:
- Soma = [6 * (6 * 6 + 1)] / 2
- Soma = [6 * (36 + 1)] / 2
- Quantidade = (6 * 37) / 2
- Quantidade = 222/2
- A constante mágica para um quadrado mágico de 6x6 é 222/2, que é 111.
- Todas as linhas, colunas e diagonais devem somar a este número.
Etapa 3. Divida o quadrado mágico em quatro quadrantes de tamanhos iguais
Marque-os com A (canto superior esquerdo), C (canto superior direito), D (canto inferior esquerdo) e B (canto inferior direito). Para descobrir o quão grande cada quadrante deve ser, simplesmente divida o número de quadrados em cada linha ou coluna por dois.
Portanto, para um quadrado de 6x6, o tamanho de cada quadrante é de 3x3 quadrados
Etapa 4. Dê a cada quadrante um intervalo de números
O quadrante A tem um quarto dos primeiros números, o quadrante B é um quarto dos segundos números, o quadrante C é um quarto dos terceiros números e o quadrante D é o último quarto do intervalo total de números para um quadrado mágico 6x6.
No exemplo do quadrado 6x6, o quadrante A será numerado de 1 a 9, o quadrante B de 10 a 18, o quadrante C de 19 a 27 e o quadrante D de 28 a 36
Etapa 5. Resolva cada quadrante usando a metodologia para quadrados mágicos de ordem ímpar
O quadrante A será fácil de preencher, pois começa com o número 1, assim como um quadrado mágico em geral. Mas para os quadrantes B a D, começaremos com os números incomuns 10, 19 e 28, para este exemplo.
- Pense no primeiro número de cada quadrante como se fosse um. Coloque-o na caixa central na linha superior de cada quadrante.
- Pense em cada quadrante como se fosse seu próprio quadrado mágico. Mesmo se uma caixa estiver em um quadrante adjacente, ignore a caixa e proceda de acordo com a regra de "exceção" apropriada para a situação.
Etapa 6. Crie os destaques A e D
Se você tentar somar as colunas, linhas e diagonais neste ponto, notará que elas ainda não são iguais à constante mágica. Você precisará trocar alguns quadrados entre os quadrantes superior esquerdo e inferior esquerdo para completar o quadrado mágico. Iremos nos referir a essas áreas trocadas como Destaques A e Destaques D. (Notas:
as explicações nesta e na próxima etapa são mais específicas para quadrados mágicos 6x6, que podem não ser adequados para quadrados mágicos maiores).
- Usando um lápis, marque todas as caixas na linha superior até chegar à posição da caixa mediana do quadrante A. (Observação: a mediana pode ser encontrada na fórmula n = (4 * m) + 2, com m como a mediana). Então, em um quadrado 6x6, você marcaria apenas o quadrado 1 (que contém o número 8 na caixa), mas em um quadrado 10x10, você marcaria os quadrados 1 e 2 (que contêm os números 17 e 24 em ambos os quadrados, respectivamente).).
- Marque uma área como um quadrado usando as caixas que foram marcadas como a linha superior. Se você marcar apenas uma caixa, seu quadrado será apenas aquela caixa. Iremos nos referir a esta área como Destaque A-1.
- Portanto, para um quadrado mágico de 10x10, o Destaque A-1 consistiria nos quadrados 1 e 2 nas linhas 1 e 2, formando um quadrado 2x2 no canto superior esquerdo do quadrante.
- Na linha abaixo de Destaque A-1, pule os quadrados da primeira coluna e marque os quadrados no centro do quadrante. Chamaremos essa linha do meio de Destaque de A-2.
- O destaque A-3 é um quadrado idêntico ao A-1, mas no canto esquerdo inferior do quadrante.
- Os destaques A-1, A-2 e A-3 juntos formam o Destaque A.
- Repita esse processo no quadrante D, criando áreas de destaque idênticas, chamadas de Destaques D.
Etapa 7. Troque os destaques A e D
Esta é uma troca após a outra. Mova e alterne as caixas entre o quadrante A e o quadrante D sem alterar a ordem em tudo (consulte a figura). Quando você tiver feito isso, todas as linhas, colunas e diagonais no quadrado mágico devem somar à constante mágica que você calculou.
Método 3 de 3: Resolvendo Quadrados Mágicos de Ordem Par de Múltiplos de Quatro
Etapa 1. Entenda o que significa um quadrado mágico de ordem par múltipla de quatro
Um quadrado mágico de ordem par que não é um múltiplo de quatro tem um número de quadrados em cada lado que são divisíveis por dois, mas não por quatro. Um quadrado mágico de ordem par de múltiplos de quatro tem o número de quadrados de cada lado que é divisível por quatro.
O menor múltiplo de ordem par de quatro que pode ser feito é 4x4
Etapa 2. Calcule a constante mágica
Use o mesmo método que faria com um quadrado mágico de ordem ímpar: a constante mágica = [n * (n * n + 1)] / 2, onde n = o número de quadrados em cada lado. Portanto, no exemplo de um quadrado mágico 4x4:
- Soma = [4 * (4 * 4 + 1)] / 2
- Soma = [4 * (16 + 1)] / 2
- Quantidade = (4 * 17) / 2
- Quantidade = 68/2
- A constante mágica para um quadrado mágico 4x4 é 68/2, que é 34.
- Todas as linhas, colunas e diagonais devem somar a este número.
Etapa 3. Crie os destaques de A a D
Em cada canto do quadrado mágico, marque um miniquadrado com comprimento lateral n / 4, onde n = comprimento lateral do quadrado mágico. Identifique os destaques A, B, C e D no sentido anti-horário.
- Em um quadrado 4x4, você marcará apenas os quatro cantos do quadrado.
- Em um quadrado de 8x8, cada destaque será uma área de 2x2 em seu canto.
- Em um quadrado de 12x12, cada destaque será uma área de 3x3 em seu canto e assim por diante.
Etapa 4. Crie um destaque central
Marque todos os quadrados no meio do quadrado mágico na área quadrada de comprimento n / 2, onde n = comprimento lateral do quadrado mágico. Os realces centrais não devem atingir os realces de A a D, mas apenas cruzar com cada um deles no canto.
- Em um quadrado 4x4, o destaque central será uma área 2x2 no centro.
- Em um quadrado 8x8, o destaque central será a área 4x4 no centro e assim por diante.
Etapa 5. Preencha o quadrado mágico, mas apenas nas áreas destacadas
Comece a preencher o número no quadrado mágico da esquerda para a direita, mas insira o número apenas se o quadrado estiver na caixa Destaque. Portanto, para uma grade 4x4, você preenche as seguintes caixas:
- Número 1 na caixa superior esquerda e 4 na caixa superior direita.
- Números 6 e 7 nos quadrados do meio da segunda linha.
- Os números 10 e 11 estão nos quadrados do meio da terceira linha.
- O número é 13 na caixa inferior esquerda e 16 na caixa inferior direita.
Etapa 6. Preencha os quadrados restantes do quadrado mágico na ordem inversa da contagem
Esta etapa é basicamente o reverso da etapa anterior. Comece novamente na caixa superior esquerda, mas desta vez pule todos os quadrados na área destacada e preencha os quadrados não destacados na ordem inversa de contagem. Comece com o maior número em seu intervalo de números. Portanto, para um quadrado mágico 4x4, você preenche as seguintes caixas:
- Os números 15 e 14 estão nos quadrados do meio da primeira linha.
- O número 12 no quadrado mais à esquerda e 9 no quadrado mais à direita na segunda linha.
- Números 8 no quadrado da extrema esquerda e 5 no quadrado da extrema direita na terceira linha.
- Números 3 e 2 nos quadrados do meio da quarta linha.
- Neste ponto, todas as colunas, linhas e diagonais devem se somar à constante mágica que você calculou.
