3 maneiras de resolver equações cúbicas

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificação: 2024-01-16 19:51

Quando você encontra pela primeira vez a equação cúbica (que tem a forma de machado ³ + bx ² + cx + d = 0), talvez você pense que o problema será difícil de resolver. Mas saiba que resolver equações cúbicas já existe há séculos! Esta solução, descoberta pelos matemáticos italianos Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano nos anos 1500, é uma das primeiras fórmulas conhecidas na Grécia e Roma antigas. Resolver equações cúbicas pode ser um pouco difícil, mas com a abordagem certa (e conhecimento suficiente), mesmo as equações cúbicas mais difíceis podem ser resolvidas.

Etapa

Método 1 de 3: Resolvendo usando equações quadráticas

Etapa 1. Verifique se sua equação cúbica tem uma constante

Como afirmado acima, a forma da equação cúbica é ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, e o valor de d podem ser 0 sem afetar a forma desta equação cúbica; isso basicamente significa que a equação cúbica nem sempre precisa incluir o valor de bx ², cx ou d para ser uma equação cúbica. Para começar a usar essa maneira bastante fácil de resolver equações cúbicas, verifique se sua equação cúbica tem uma constante (ou um valor de d). Se sua equação não tiver uma constante ou valor para d, você pode usar uma equação quadrática para encontrar a resposta para a equação cúbica após algumas etapas.

Por outro lado, se sua equação tiver um valor constante, você precisará de outra solução. Veja as etapas abaixo para outras abordagens

Etapa 2. Fatore o valor x da equação cúbica

Como sua equação não tem valor constante, todos os componentes nela têm a variável x. Isso significa que este valor de x pode ser fatorado fora da equação para simplificá-lo. Faça este passo e reescreva a sua equação cúbica na forma x (machado ² + bx + c).

Por exemplo, digamos que a equação cúbica original aqui é 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Fatorando uma variável x desta equação, obtemos a equação x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Etapa 3. Use equações quadráticas para resolver as equações entre colchetes

Você pode notar que algumas de suas novas equações, que estão entre parênteses, estão na forma de uma equação quadrática (ax ² + bx + c). Isso significa que podemos encontrar o valor necessário para tornar esta equação igual a zero inserindo a, b e c na fórmula da equação quadrática ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a). Faça esses cálculos para encontrar duas respostas para sua equação cúbica.

• Em nosso exemplo, insira os valores de a, b e c (3, -2 e 14, respectivamente) na equação quadrática da seguinte forma:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Resposta 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i} / 6

• Resposta 2:

  {2 - 12,8 i} / 6

Etapa 4. Use zeros e sua resposta para a equação quadrática como sua resposta para a equação cúbica

As equações quadráticas terão duas respostas, enquanto as equações cúbicas terão três respostas. Você já sabe duas respostas de três; que você obtém da parte "quadrada" da equação entre colchetes. Se sua equação cúbica pode ser resolvida por "fatoração" como esta, sua terceira resposta é quase sempre 0. Seguro! Você acabou de resolver uma equação cúbica.

O motivo que faz esse método funcionar é o fato fundamental de que "qualquer número multiplicado por zero é igual a zero". Quando você fatorar sua equação na forma x (ax ² + bx + c) = 0, você basicamente apenas divide em duas "partes"; uma parte é a variável x no lado esquerdo e a outra parte é a equação quadrática entre colchetes. Se uma dessas duas partes for zero, a equação inteira também será zero. Assim, as duas respostas da equação quadrática entre parênteses, que a tornariam zero, são as respostas da equação cúbica, assim como o próprio 0 - o que tornaria a parte do lado esquerdo também zero.

Método 2 de 3: Encontrar respostas inteiras usando uma lista de fatores

Etapa 1. Certifique-se de que sua equação cúbica tenha um valor constante

Embora os métodos descritos acima sejam bastante fáceis de usar porque você não precisa aprender uma nova técnica de cálculo para usá-los, eles nem sempre ajudam a resolver equações cúbicas. Se a sua equação cúbica tiver a forma de machado ³ + bx ² + cx + d = 0, onde o valor de d não é igual a zero, o método de "fatoração" acima não funciona, então você precisará usar um dos métodos nesta seção para resolver isso.

Por exemplo, digamos que temos a equação 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Nesse caso, para obter zero no lado direito da equação, devemos adicionar 6 a ambos os lados. Depois disso, teremos uma nova equação 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, com um valor de d = 6, portanto não podemos usar o método de "fatoração" como no método anterior.

Etapa 2. Encontre os fatores de a e d

Para resolver sua equação cúbica, comece encontrando o fator de a (o coeficiente de x ³) e d (o valor constante no final da equação). Lembre-se de que fatores são números que podem ser multiplicados entre si para produzir um determinado número. Por exemplo, como você pode obter 6 multiplicando 6 × 1 e 2 × 3, 1, 2, 3 e 6 são fatores de 6.

• No problema de exemplo que estamos usando, a = 2 e d = 6. O fator de 2 é 1 e 2. Enquanto o fator de 6 é 1, 2, 3 e 6.

  

  Etapa 3. Divida o fator a pelo fator de d

  A seguir, liste os valores obtidos dividindo cada fator de a por cada fator de d. Esse cálculo geralmente resulta em muitos valores fracionários e vários números inteiros. O valor inteiro para resolver sua equação cúbica é um dos inteiros obtidos no cálculo.

  Em nossa equação, divida o valor do fator de a (1, 2) pelo fator de d (1, 2, 3, 6) e obtenha os seguintes resultados: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 e 2/3. Em seguida, adicione valores negativos à lista e obteremos: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 e -2/3. A resposta à equação cúbica - que é um número inteiro, está na lista.

  

  Etapa 4. Use a divisão sintética para verificar manualmente suas respostas

  Depois de ter uma lista de valores como a acima, você pode pesquisar os valores inteiros que são as respostas para sua equação cúbica inserindo cada número inteiro manualmente e descobrir qual valor retorna zero. No entanto, se você não quiser perder tempo fazendo isso, existe uma maneira de fazer isso mais rapidamente, ou seja, com um cálculo chamado divisão sintética. Basicamente, você dividiria seu valor inteiro pelos coeficientes originais de a, b, c e d em sua equação cúbica. Se o resto for zero, esse valor é uma das respostas para sua equação cúbica.

  • A divisão sintética é um tópico complexo - consulte o link abaixo para obter mais informações. Aqui está um exemplo de como encontrar uma das respostas para sua equação cúbica com divisão sintética:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Uma vez que obtemos o resultado final igual a 0, sabemos que uma das respostas inteiras à nossa equação cúbica é - 1.

  Método 3 de 3: Usando a Abordagem Discriminante

  

  Etapa 1. Escreva as equações a, b, c e d

  Para encontrar a resposta à equação cúbica dessa forma, faremos muitos cálculos com os coeficientes de nossa equação. Por isso, é uma boa ideia anotar os valores de a, b, c e d antes de esquecer qualquer um dos valores.

  Por exemplo, para a equação x ³ - 3 x ² + 3 x - 1, escreva-o como a = 1, b = -3, c = 3 e d = -1. Não se esqueça que quando a variável x não possui coeficiente, seu valor é 1.

  

  Etapa 2. Calcule 0 = b ² - 3 aparelhos de ar condicionado.

  A abordagem discriminante para encontrar respostas para equações cúbicas requer cálculos complexos, mas se você seguir as etapas cuidadosamente, pode ser muito útil para resolver equações cúbicas que são difíceis de resolver de outras maneiras. Para começar, encontre o valor de 0, que é o primeiro valor significativo dos vários de que precisamos, inserindo o valor apropriado na fórmula b ² - 3 aparelhos de ar condicionado.

  • No exemplo que estamos usando, vamos resolver da seguinte maneira:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Etapa 3. Calcule 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  O próximo valor significativo de que precisamos, 1, requer um cálculo mais longo, mas pode ser encontrado da mesma forma que 0. Insira o valor apropriado na fórmula 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d para obter o valor de 1.

  • Neste exemplo, resolvemos da seguinte maneira:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Etapa 4. Calcular = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Em seguida, calculamos o valor "discriminante" dos valores 0 e 1. O discriminante é um número que fornece informações sobre a raiz do polinômio (você pode ter memorizado inconscientemente a fórmula discriminante quadrática: b ² - 4 aparelhos de ar condicionado). No caso de uma equação cúbica, se o valor do discriminante for positivo, a equação terá três respostas com números reais. Se o valor discriminante for igual a zero, a equação terá uma ou duas respostas com números reais e algumas das respostas terão o mesmo valor. Se o valor for negativo, então a equação tem apenas uma resposta de número real, porque o gráfico da equação sempre cruzará o eixo x pelo menos uma vez.)

  • Neste exemplo, como 0 e 1 = 0, encontrar o valor de é muito fácil. Precisamos apenas calculá-lo da seguinte maneira:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, então nossa equação tem 1 ou 2 respostas.

  

  Etapa 5. Calcule C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2).

  O último valor que é importante obtermos é o valor de C. Este valor nos permite obter todas as três raízes de nossa equação cúbica. Resolva como de costume, inserindo os valores de 1 e 0 na fórmula.

  • Neste exemplo, obteremos o valor de C por:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Etapa 6. Calcule as três raízes da equação com sua variável

  A raiz (resposta) de sua equação cúbica é determinada pela fórmula (b + u C + (Δ0 / u C)) / 3 a, onde u = (-1 + (-3)) / 2 en é igual a 1, 2 ou 3. Insira seus valores na fórmula para resolvê-los - pode haver alguns cálculos que você precisa fazer, mas você deve obter todas as três respostas da equação cúbica!

  • Neste exemplo, podemos resolvê-lo verificando as respostas quando n é igual a 1, 2 e 3. A resposta que obtemos a partir deste cálculo é a resposta possível para a nossa equação cúbica - qualquer valor que inserirmos na equação cúbica e fornecer o mesmo resultado. com 0, é a resposta correta. Por exemplo, se obtivermos uma resposta igual a 1 em um de nossos experimentos de cálculo, inserindo o valor 1 na equação x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 produz o resultado final igual a 0. Assim

    Passo 1. é uma das respostas à nossa equação cúbica.