Uma equação quadrática é uma equação cujo grau mais alto é 2 (ao quadrado). Existem três maneiras principais de resolver uma equação quadrática: fatorar a equação quadrática, se possível, usando uma fórmula quadrática ou completar o quadrado. Se você deseja dominar esses três métodos, siga estas etapas.
Etapa
Método 1 de 3: Equações de fatoração
Etapa 1. Combine todas as variáveis iguais e mova-as para um lado da equação
A primeira etapa para fatorar uma equação é mover todas as variáveis iguais para um lado da equação, com x2é positivo. Para combinar variáveis, adicione ou subtraia todas as variáveis x2, x, e constantes (inteiros), mova-os para o outro lado da equação para que nada permaneça do outro lado. Quando o outro lado não tem variáveis restantes, escreva um 0 próximo ao sinal de igual. Veja como fazer:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 + x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Etapa 2. Fatore esta equação
Para fatorar esta equação, você deve usar o fator x2 (3) e o fator constante (-4), multiplicando-os e somando-os para ajustar a variável do meio, (-11). Veja como fazer:
- 3x2 tem apenas um fator possível que é, 3x e x, você pode escrevê-los entre parênteses: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Em seguida, use o processo de eliminação para fatorar 4 para encontrar o produto que rende -11x. Você pode usar o produto de 4 e 1, ou 2 e 2, porque quando você multiplica ambos você obtém 4. Mas lembre-se de que um dos números deve ser negativo porque o resultado é -4.
- Experimente (3x + 1) (x - 4). Quando você o multiplica, o resultado é - 3x2 -12x + x -4. Se você combinar as variáveis -12 x e x, o resultado será -11x, que é o seu valor médio. Você acabou de fatorar uma equação quadrática.
- Por exemplo, vamos tentar fatorar o outro produto: (3x -2) (x +2) = 3x2 + 6x -2x -4. Se você combinar as variáveis, o resultado é 3x2 -4x -4. Mesmo que os fatores de -2 e 2, quando multiplicados, produzam -4, a média não é a mesma porque você deseja obter um valor de -11x em vez de -4x.
Etapa 3. Suponha que cada parêntese seja zero em uma equação diferente
Isso permitirá que você encontre 2 valores de x que farão sua equação zero. Você fatorou sua equação, então tudo que você precisa fazer é assumir que o cálculo em cada parêntese é igual a zero. Assim, você pode escrever 3x + 1 = 0 e x - 4 = 0.
Etapa 4. Resolva cada equação separadamente
Em uma equação quadrática, existem 2 valores para x. Resolva cada equação separadamente movendo as variáveis e escrevendo 2 respostas para x, assim:
-
Resolva 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. subtraindo
- 3x / 3 = -1/3….. dividindo
- x = -1/3….. simplificando
-
Resolva x - 4 = 0
x = 4….. subtraindo
- x = (-1/3, 4)….. separando várias respostas possíveis, o que significa que x = -1/3 ou x = 4 podem estar corretos.
Etapa 5. Verifique x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Assim, obtemos (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0….. substituindo (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0….. simplificando (0) (- 4 1/3) = 0….. multiplicando Então, 0 = 0….. Sim, x = -1/3 é verdadeiro.
Etapa 6. Verifique x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Assim, obtemos (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. substituindo (13) (4 - 4)? =? 0….. simplificando (13) (0) = 0….. multiplicando Então, 0 = 0….. Sim, x = 4 também é verdadeiro.
Portanto, após verificar separadamente, ambas as respostas estão corretas e podem ser utilizadas em equações
Método 2 de 3: usando a fórmula quadrática
Etapa 1. Combine todas as variáveis iguais e mova-as para um lado da equação
Mova todas as variáveis para um lado da equação, com o valor da variável x2 positivo. Escreva as variáveis com expoentes sequenciais, de modo que x2 escrito primeiro, seguido por variáveis e constantes. Veja como fazer:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Etapa 2. Escreva a fórmula quadrática
A fórmula quadrática é: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}
Etapa 3. Determine os valores de a, b e c da equação quadrática
A variável a é o coeficiente x2, b é o coeficiente da variável x e c é uma constante. Para a equação 3x.2 -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 e c = -8. Escreva todos os três.
Etapa 4. Substitua os valores de a, b e c na equação
Depois de saber os três valores de variáveis, conecte-os a uma equação como esta:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Etapa 5. Faça cálculos
Depois de inserir os números, faça algumas contas para simplificar o sinal positivo ou negativo, multiplique ou eleve ao quadrado as variáveis restantes. Veja como fazer:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Etapa 6. Simplifique a raiz quadrada
Se o número sob a raiz quadrada for um quadrado perfeito, você obterá um número inteiro. Se o número não for um quadrado perfeito, simplifique para sua forma de raiz mais simples. Se o número for negativo e você acreditar que deveria ser negativo, o valor da raiz será complicado. Neste exemplo, (121) = 11. Você pode escrever x = (5 +/- 11) / 6.
Etapa 7. Procure as respostas positivas e negativas
Depois de remover o sinal de raiz quadrada, você pode trabalhar para encontrar um resultado positivo e negativo para x. Agora que você tem (5 +/- 11) / 6, você pode escrever 2 respostas:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Etapa 8. Complete as respostas positivas e negativas
Faça cálculos matemáticos:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Etapa 9. Simplifique
Para simplificar cada resposta, divida pelo maior número que puder dividir os dois números. Divida a primeira fração por 2 e divida a segunda por 6, e você encontrou o valor de x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Método 3 de 3: Complete o quadrado
Etapa 1. Mova todas as variáveis para um lado da equação
Certifique-se de que a ou a variável x2 positivo. Veja como fazer:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
Nesta equação, a variável a é 2, a variável b é -12 e a variável c é -9
Etapa 2. Mova a variável ou constante c para o outro lado
Constantes são termos numéricos sem variáveis. Mova para o lado direito da equação:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Etapa 3. Divida os dois lados pelo coeficiente a ou pela variável x2.
Se x2 não tem uma variável e o coeficiente é 1, você pode pular esta etapa. Nesse caso, você deve dividir todas as variáveis por 2, assim:
- 2x2/ 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Etapa 4. Divida b por 2, eleve ao quadrado e adicione o resultado a ambos os lados
O valor de b neste exemplo é -6. Veja como fazer:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Etapa 5. Simplifique os dois lados
Fatore a variável do lado esquerdo para obter (x-3) (x-3) ou (x-3)2. Adicione os valores à direita para obter 9/2 + 9 ou 9/2 + 18/2, que é 27/2.
Etapa 6. Encontre a raiz quadrada de ambos os lados
Raiz quadrada de (x-3)2 é (x-3). Você pode escrever a raiz quadrada de 27/2 como ± √ (27/2). Assim, x - 3 = ± √ (27/2).
Etapa 7. Simplifique as raízes e encontre o valor de x
Para simplificar ± √ (27/2), encontre o quadrado perfeito entre os números 27 e 2 ou fatore esse número. O quadrado perfeito de 9 pode ser encontrado em 27 porque 9 x 3 = 27. Para tirar 9 da raiz quadrada, tire 9 da raiz e escreva 3, a raiz quadrada, fora da raiz quadrada. Deixe o restante 3 no numerador da fração abaixo da raiz quadrada, já que 27 não resolve todos os fatores, e anote 2 abaixo. Em seguida, mova a constante 3 do lado esquerdo da equação para a direita e escreva suas duas soluções para x:
- x = 3 + (√6) / 2
- x = 3 - (√6) / 2)
Pontas
- Como você pode ver, as marcas de raiz não desaparecerão completamente. Assim, as variáveis do numerador não podem ser combinadas (porque não são iguais). Não adianta separá-lo em positivo ou negativo. No entanto, podemos dividi-lo pelo mesmo fator, mas SÓ se os fatores forem iguais para ambas as constantes E coeficiente de raiz.
- Se o número sob a raiz quadrada não for um quadrado perfeito, as últimas etapas serão um pouco diferentes. Aqui está um exemplo:
- Se b for um número par, a fórmula se torna: {- (b / 2) +/- (b / 2) -ac} / a.
