Simplificar a raiz quadrada não é tão difícil quanto parece. Para simplificar a raiz quadrada, você só precisa fatorar o número e obter a raiz quadrada de qualquer quadrado perfeito que esteja abaixo da raiz quadrada. Se você se lembra dos quadrados perfeitos comumente usados e sabe como fatorar números, será capaz de simplificar muito bem as raízes quadradas.
Etapa
Método 1 de 3: Simplificando Raízes Quadradas por Fatoração
Etapa 1. Compreenda sobre os fatores
O objetivo de simplificar as raízes quadradas é escrevê-las de uma forma que seja fácil de entender e usar em problemas matemáticos. Ao fatorar, um grande número é dividido em dois ou mais números de "fatores" menores, por exemplo, mudando 9 para 3 x 3. Assim que encontrarmos esse fator, podemos reescrever a raiz quadrada de uma forma mais simples, às vezes até mudando-a um número inteiro regular. Por exemplo, 9 = (3x3) = 3. Siga estas etapas para aprender sobre esse processo em raízes quadradas mais complexas.
Etapa 2. Divida o número pelo menor número primo possível
Se o número sob a raiz quadrada for um número par, divida por 2. Se o seu número for ímpar, tente dividir por 5. Se nenhuma dessas divisões fornecer um inteiro, tente o próximo número na lista abaixo, dividindo por cada number. prime para obter um inteiro como resultado. Você só precisa testar os números primos, porque todos os outros números têm os números primos como fatores. Por exemplo, você não precisa testar com o número 4, porque todos os números que são divisíveis por 4 também são divisíveis por 2, o que você já tentou antes.
- 2
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
Etapa 3. Reescreva a raiz quadrada como um problema de multiplicação
Continue escrevendo esta multiplicação sob a raiz quadrada e não se esqueça de incluir os dois fatores. Por exemplo, se você está tentando simplificar 98, siga as etapas acima para descobrir que 98 2 = 49, então 98 = 2 x 49. Reescreva o número "98" em sua raiz quadrada original usando esta informação: 98 = (2 x 49).
Etapa 4. Repita em um dos números restantes
Antes de simplificar a raiz quadrada, precisamos continuar a fatorá-la até que se torne dois números exatamente iguais. Isso faz sentido se você se lembrar do que significa raiz quadrada: o número (2 x 2) significa "um número que você pode multiplicar por si mesmo é igual a 2 x 2." Claro, a resposta é 2! Com isso em mente, vamos repetir as etapas acima para resolver nosso problema de exemplo (2 x 49):
- 2 foi fatorado o menor possível. (Em outras palavras, este número é um dos números primos listados acima). Vamos ignorar esse número por enquanto e tentar dividir por 49 primeiro.
- 49 não pode ser completamente dividido por 2, ou por 3 ou por 5. Você pode testar isso sozinho usando uma calculadora ou usando a divisão longa. Como essa divisão não fornece um número inteiro, vamos ignorá-la e tentar o próximo número.
- 49 é completamente divisível por 7. 49 7 = 7, então 49 = 7 x 7.
- Reescreva o problema acima com: (2 x 49) = (2 x 7 x 7).
Etapa 5. Resolva "extraindo" um número inteiro
Depois de resolver o problema em dois fatores exatamente iguais, você pode convertê-lo em um número inteiro regular fora da raiz quadrada. Deixe o resto dos fatores permanecerem na raiz quadrada. Por exemplo, (2 x 7 x 7) = (2) √ (7 x 7) = (2) x 7 = 7√ (2).
Mesmo que você possa fatorar mais, não será necessário fazê-lo novamente depois de encontrar dois fatores que correspondam exatamente. Por exemplo, (16) = (4 x 4) = 4. Se continuarmos a fatorar, obteremos a mesma resposta, mas de uma forma mais longa: (16) = (4 x 4) = (2 x 2 x 2 x 2) = (2 x 2) √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4
Etapa 6. Multiplique todos os inteiros se houver mais de um
Para alguns grandes números de raiz quadrada, você pode simplificar mais de uma vez. Se for esse o caso, multiplique o número inteiro obtido para obter a resposta final. Aqui está um exemplo:
- 180 = (2 x 90)
- 180 = (2 x 2 x 45)
- 180 = 2√45, mas este valor pode ser simplificado ainda mais.
- 180 = 2√ (3 x 15)
- 180 = 2√ (3 x 3 x 5)
- √180 = (2)(3√5)
- √180 = 6√5
Etapa 7. Escreva "não pode ser simplificado" se não houver dois fatores iguais
Alguns números de raiz quadrada já estão em sua forma mais simples. Se você continuar a fatorar até que todos eles sejam números primos (conforme listado na etapa acima), e nenhum dos pares seja o mesmo, então não há nada que você possa fazer. Você pode receber uma pergunta sobre armadilha! Por exemplo, tente simplificar 70:
- 70 = 35 x 2, então 70 = (35 x 2)
- 35 = 7 x 5, então (35 x 2) = (7 x 5 x 2)
- Todos os três números aqui são primos, portanto, não podem ser fatorados mais. Os três números são diferentes, portanto, é impossível produzir um inteiro. 70 não pode ser simplificado.
Método 2 de 3: Reconhecendo quadrados perfeitos
Etapa 1. Lembre-se de alguns quadrados perfeitos
Quadrar um número, ou multiplicar pelo próprio número, cria um quadrado perfeito. Por exemplo, 25 é um quadrado perfeito, porque 5 x 5 ou 52, é igual a 25. Lembre-se de pelo menos os dez primeiros quadrados perfeitos para ajudá-lo a identificar e simplificar as raízes quadradas perfeitas. Aqui estão os primeiros dez números quadrados perfeitos:
- 12 = 1
- 22 = 4
- 32 = 9
- 42 = 16
- 52 = 25
- 62 = 36
- 72 = 49
- 82 = 64
- 92 = 81
- 102 = 100
Etapa 2. Encontre a raiz quadrada do quadrado perfeito
Se você reconhecer um quadrado perfeito sob a raiz quadrada, poderá convertê-lo imediatamente em uma raiz quadrada e removê-lo do sinal (√). Por exemplo, se você vir o número 25 sob a raiz quadrada, já sabe que a resposta é 5, porque 25 é um quadrado perfeito. A lista é igual à anterior, começando da raiz quadrada até a resposta:
- √1 = 1
- √4 = 2
- √9 = 3
- √16 = 4
- √25 = 5
- √36 = 6
- √49 = 7
- √64 = 8
- √81 = 9
- √100 = 10
Etapa 3. Fatore o número em um quadrado perfeito
Aproveite os quadrados perfeitos ao continuar com o método do fator de simplificação das raízes quadradas. Se você estiver ciente dos fatores de um quadrado perfeito, será mais rápido e fácil resolver os problemas. Aqui estão algumas dicas que você pode usar:
- 50 = (25 x 2) = 5√2. Se os dois últimos dígitos de um número terminarem em 25, 50 ou 75, você sempre poderá fatorar 25 desse número.
- 1700 = (100 x 17) = 10√17. Se os dois últimos números terminarem em 00, você sempre poderá fatorar 100 desse número.
- 72 = (9 x 8) = 3√8. Conheça a multiplicação de nove para ficar mais fácil para você. Aqui está uma dica para reconhecê-los: se "todos" os números em um número somam nove, então nove é um fator.
- 12 = (4 x 3) = 2√3. Não há dicas específicas aqui, mas geralmente é fácil verificar se um pequeno número é divisível por 4. Lembre-se disso ao procurar outros fatores.
Etapa 4. Fatore um número com mais de um quadrado perfeito
Se os fatores de um número tiverem mais de um quadrado perfeito, tire todos eles da raiz quadrada. Se você obtiver vários quadrados perfeitos no processo de simplificação da raiz quadrada, mova todas as raízes quadradas para fora do sinal e multiplique-as todas juntas. Por exemplo, tente simplificar 72:
- 72 = (9 x 8)
- 72 = (9 x 4 x 2)
- 72 = (9) x (4) x (2)
- 72 = 3 x 2 x 2
- √72 = 6√2
Método 3 de 3: Compreendendo os termos
Etapa 1. Saiba que o sinal da raiz quadrada (√) é o sinal da raiz quadrada
Por exemplo, no problema 25, "√" é o sinal de raiz.
Etapa 2. Conheça o radicand é o número dentro do sinal de raiz
Este é o número do qual você deve calcular a raiz quadrada. Por exemplo, no problema de 25, "25" é a raiz quadrada.
Etapa 3. Saiba que o coeficiente é um número fora da raiz quadrada
Esse número é a raiz quadrada do multiplicador; este número está à esquerda do sinal de raiz. Por exemplo, no problema 7√2, "7" é o valor do coeficiente.
Etapa 4. Saiba que um fator é um número totalmente divisível por um número
Por exemplo, 2 é um fator de 8 porque 8 4 = 2, mas 3 não é um fator de 8 porque 8 ÷ 3 não dá um número inteiro. Assim como nos outros exemplos, 5 é um fator de 25 porque 5 x 5 = 25.
Etapa 5. Compreenda o significado de simplificação da raiz quadrada
Simplificar a raiz quadrada significa simplesmente fatorar o quadrado perfeito da raiz quadrada, removendo-o à esquerda do sinal do radical e deixando os fatores restantes sob o sinal do radical. Se um número for um quadrado perfeito, a raiz quadrada desaparecerá quando você anotar a raiz. Por exemplo, 98 pode ser simplificado para 7√2.
Pontas
Uma maneira de encontrar um quadrado perfeito que pode ser fatorado em um número é examinar uma lista de quadrados perfeitos, começando com o menor que sua raiz quadrada ou com o número abaixo da raiz quadrada. Por exemplo, ao procurar um quadrado perfeito que não seja maior que 27, comece com 25 e vá descendo até 16 e "pare no 9", quando encontrar um quadrado perfeito que divide 27
Aviso
- Simplificar não é o mesmo que calcular o valor. Nenhuma das etapas neste processo exige que você obtenha um número com uma casa decimal.
- Calculadoras podem ser úteis para grandes números, mas quanto mais você praticar sozinho, mais fácil será simplificar as raízes quadradas.
