Antes da invenção das calculadoras, os alunos e professores tinham de calcular manualmente as raízes quadradas. Várias maneiras diferentes foram desenvolvidas para superar esse processo difícil. Algumas maneiras fornecem uma estimativa aproximada e outras fornecem um valor exato. Para saber como encontrar a raiz quadrada de um número usando apenas operações simples, consulte a Etapa 1 abaixo para começar.
Etapa
Método 1 de 2: Usando Fatoração Principal
Etapa 1. Divida seu número em fatores quadrados perfeitos
Este método usa os fatores de um número para encontrar a raiz quadrada do número (dependendo do número, a resposta pode ser um número exato ou uma aproximação aproximada). Os fatores de um número são um conjunto de outros números que, quando multiplicados, produzem aquele número. Por exemplo, você poderia dizer que os fatores de 8 são 2 e 4 porque 2 × 4 = 8. Enquanto isso, quadrados perfeitos são números inteiros que são o produto de outros números inteiros. Por exemplo, 25, 36 e 49 são quadrados perfeitos porque são 5, respectivamente2, 62, e 72. Como você deve ter adivinhado, fatores de quadrados perfeitos são fatores que também são quadrados perfeitos. Para começar a encontrar a raiz quadrada por meio da fatoração de números primos, primeiro tente simplificar seu número para seus fatores quadrados perfeitos.
- Vamos usar um exemplo. Queremos encontrar a raiz quadrada de 400 manualmente. Para começar, dividiremos o número em seus fatores quadrados perfeitos. Como 400 é um múltiplo de 100, sabemos que 400 é divisível por 25 - um quadrado perfeito. Com uma divisão rápida das sombras, descobrimos que 400 dividido por 25 é igual a 16. Coincidentemente, 16 também é um quadrado perfeito. Assim, os fatores quadrados perfeitos de 400 são 25 e 16 porque 25 × 16 = 400.
- Podemos escrever como: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Etapa 2. Encontre a raiz quadrada de seus fatores quadrados perfeitos
A propriedade de multiplicação da raiz quadrada afirma que, para qualquer número aeb, Quadrado (a × b) = Quadrado (a) × Quadrado (b). Por causa dessa propriedade, agora, podemos encontrar a raiz quadrada de nossos fatores quadrados perfeitos e multiplicá-los para obter nossa resposta.
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Em nosso exemplo, encontraremos as raízes quadradas de 25 e 16. Veja abaixo:
- Root (25 × 16)
- Raiz (25) × Raiz (16)
-
5 × 4 =
Etapa 20.
Etapa 3. Se o seu número não puder ser fatorado perfeitamente, simplifique sua resposta da forma mais simples
Na vida real, muitas vezes os números de que você precisa para encontrar a raiz quadrada de não são números inteiros agradáveis com fatores quadrados perfeitos óbvios como 400. Nesses casos, é possível que não possamos encontrar a resposta certa como um número inteiro. No entanto, encontrando tantos fatores quadrados perfeitos quanto possível, você pode encontrar a resposta na forma de uma raiz quadrada que é menor, mais simples e mais fácil de calcular. Para fazer isso, reduza seu número a uma combinação de fatores do quadrado perfeito e fatores do quadrado imperfeito e, em seguida, simplifique.
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Vamos usar a raiz quadrada de 147 como exemplo. 147 não é um produto de dois quadrados perfeitos, então não podemos obter o valor inteiro exato como acima. No entanto, 147 é o produto de um quadrado perfeito e outro número - 49 e 3. Podemos usar essas informações para escrever nossa resposta em sua forma mais simples da seguinte maneira:
- Root (147)
- = Raiz (49 × 3)
- = Quadrado (49) × Quadrado (3)
- = 7 × Root (3)
Etapa 4. Se necessário, faça uma estimativa
Com sua raiz quadrada em sua forma mais simples, geralmente é bastante fácil obter uma estimativa aproximada do número de resposta, adivinhando o valor da raiz quadrada restante e multiplicando-o. Uma maneira de orientar seu palpite é procurar quadrados perfeitos maiores e menores que o número em sua raiz quadrada. Você notará que o valor decimal do número em sua raiz quadrada está entre os dois números, portanto, você pode adivinhar o valor entre os dois números.
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Voltemos ao nosso exemplo. porque 22 = 4 e 12 = 1, sabemos que Root (3) está entre 1 e 2 - provavelmente mais perto de 2 do que 1. Estimamos 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Se verificarmos nossa resposta na calculadora, podemos ver que nossa resposta está muito próxima da resposta real que é 12, 13.
Isso também se aplica a números maiores. Por exemplo, Root (35) pode ser aproximado entre 5 e 6 (possivelmente mais próximo de 6). 52 = 25 e 62 = 36. 35 está entre 25 e 36, então a raiz quadrada deve estar entre 5 e 6. Como 35 é apenas um menor que 36, podemos dizer com confiança que a raiz quadrada é ligeiramente menor que 6. Verificar com uma calculadora irá dê-nos a resposta é cerca de 5, 92 - estamos certos.
Etapa 5. Como alternativa, reduza seu número aos fatores menos comuns como sua primeira etapa
Encontrar os fatores de quadrados perfeitos não é necessário se você puder determinar facilmente os fatores primos de um número (fatores que também são números primos). Escreva seu número em termos de seus fatores menos comuns. Em seguida, encontre os pares de números primos que correspondem aos seus fatores. Quando você encontrar dois fatores primos iguais, remova esses dois números da raiz quadrada e coloque um desses números fora da raiz quadrada.
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Por exemplo, encontre a raiz quadrada de 45 usando este método. Sabemos que 45 × 5 e que abaixo de 9 = 3 × 3. Assim, podemos escrever nossa raiz quadrada em termos de fatores como este: Sqrt (3 × 3 × 5). Basta remover os 3s e colocar um 3 fora da raiz quadrada para simplificar sua raiz quadrada para sua forma mais simples: (3) Root (5).
A partir daqui, seremos fáceis de estimar.
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Como um exemplo de problema final, vamos tentar encontrar a raiz quadrada de 88:
- Root (88)
- = Raiz (2 × 44)
- = Raiz (2 × 4 × 11)
- = Raiz (2 × 2 × 2 × 11). Temos cerca de 2 em nossa raiz quadrada. Como 2 é um número primo, podemos remover um par de 2s e colocar um deles fora da raiz quadrada.
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= Nossa raiz quadrada em sua forma mais simples é (2) Sqrt (2 × 11) ou (2) Root (2) Root (11).
A partir daqui, podemos estimar Sqrt (2) e Sqrt (11) e encontrar a resposta aproximada que desejamos.
Método 2 de 2: Encontrando a raiz quadrada manualmente
Usando o algoritmo de divisão longa
Etapa 1. Separe os dígitos do seu número em pares
Este método usa um processo semelhante à divisão longa para encontrar a raiz quadrada exata dígito a dígito. Embora não seja obrigatório, você pode achar mais fácil realizar esse processo se organizar visualmente seu local de trabalho e seus números em partes fáceis de trabalhar. Primeiro, desenhe uma linha vertical dividindo sua área de trabalho em duas seções, em seguida, desenhe uma linha horizontal mais curta perto do canto superior direito para dividir a seção direita em uma seção superior menor e uma seção inferior maior. Em seguida, separe seus dígitos em pares, começando na vírgula decimal. Por exemplo, seguindo esta regra, 79.520.789.182, 47897 torna-se "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Escreva seu número no canto superior esquerdo.
Por exemplo, vamos tentar calcular a raiz quadrada de 780,14. Desenhe duas linhas para dividir seu local de trabalho como acima e escreva "780,14" no canto superior esquerdo. Não importa se o número mais à esquerda é um único número e não um par de números. Você vai escrever sua resposta (raiz quadrada 780, 14) no canto superior direito
Etapa 2. Encontre o maior inteiro cujo valor quadrado é menor ou igual ao número (ou par de números) na extrema esquerda
Comece na extrema esquerda do seu número, pares de números e números individuais. Encontre o maior quadrado perfeito menor ou igual a esse número e, em seguida, encontre a raiz quadrada desse quadrado perfeito. Este número é n. Escreva n no canto superior direito e escreva o quadrado de n no quadrante inferior direito.
Em nosso exemplo, a extrema esquerda é o número 7. Porque sabemos que 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, podemos dizer que n = 2 porque 2 é o maior inteiro cujo valor quadrado é menor ou igual a 7. Escreva 2 no quadrante superior direito. Este é o primeiro dígito da nossa resposta. Escreva 4 (valor quadrado de 2) no quadrante inferior direito. Este número é importante para a próxima etapa.
Etapa 3. Subtraia o número que você acabou de calcular do par mais à esquerda
Como na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o valor do quadrado que acabamos de encontrar da parte que acabamos de analisar. Escreva este número na primeira parte e subtraia, escrevendo sua resposta abaixo.
- Em nosso exemplo, escreveremos 4 sob 7 e o subtrairemos. Esta subtração produz uma resposta
Etapa 3..
Etapa 4. Solte o próximo par
Mova para baixo a próxima seção do número para o qual você está procurando a raiz quadrada, próximo ao valor de subtração que você acabou de encontrar. Em seguida, multiplique o número no quadrante superior direito por dois e escreva a resposta no quadrante inferior direito. Ao lado do número que você acabou de escrever, deixe um espaço para o problema de multiplicação que você fará na próxima etapa escrevendo '"_ × _ ="'.
Em nosso exemplo, o próximo par de nossos números é "80". Escreva "80" próximo a 3 no quadrante esquerdo. Em seguida, multiplique o número no canto superior direito por dois. Este número é 2, então 2 × 2 = 4. Escreva "'4"' no quadrante inferior direito, seguido por _×_=.
Etapa 5. Preencha os espaços em branco no quadrante direito
Você deve preencher todos os espaços em branco que acabou de escrever no quadrante direito com o mesmo número inteiro. Este inteiro deve ser o maior inteiro que torna o produto no quadrante direito menor ou igual ao número atualmente à esquerda.
Em nosso exemplo, preenchemos os espaços em branco com 8, resultando em 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Esse valor é maior que 384. Portanto, 8 é muito grande, mas 7 pode funcionar. Escreva 7 nos espaços em branco e resolva: 4 (7) × 7 = 329. 7 é um número correto porque 329 é menor que 380. Escreva 7 no quadrante superior direito. Este é o segundo dígito na raiz quadrada de 780, 14
Passo 6. Subtraia o número que você acabou de calcular do número agora à esquerda
Continue com a cadeia de subtração usando o método de divisão longa. Pegue o produto do problema no quadrante direito e subtraia-o do número que agora está à esquerda, enquanto escreve suas respostas abaixo.
Em nosso exemplo, vamos subtrair 329 de 380, o que dá o resultado 51.
Etapa 7. Repita a etapa 4
Derive a próxima parte do número para o qual você está procurando a raiz quadrada. Quando você atingir a vírgula decimal em seu número, escreva a vírgula em sua resposta no quadrante superior direito. Em seguida, multiplique o número no canto superior direito por 2 e escreva-o próximo ao problema de multiplicação em branco ("_ × _") como acima.
Em nosso exemplo, como agora estamos lidando com a vírgula decimal em 780, 14, escreva a vírgula após nossa resposta atual no canto superior direito. Em seguida, abaixe o próximo par (14) no quadrante esquerdo. Duas vezes o número no canto superior direito (27) é igual a 54, então escreva "54 _ × _ =" no quadrante inferior direito
Etapa 8. Repita as etapas 5 e 6
Encontre o maior dígito para preencher os espaços em branco à direita, o que dá uma resposta menor ou igual ao número atualmente à esquerda. Então, resolva o problema.
Em nosso exemplo, 549 × 9 = 4941, que é menor ou igual ao número à esquerda (5114). 549 × 10 = 5490 é muito grande, então 9 é sua resposta. Escreva 9 como o próximo dígito no quadrante superior direito e subtraia o produto do número à esquerda: 5114 menos 4941 é igual a 173
Etapa 9. Para continuar contando os dígitos, abaixe o par de zeros à esquerda e repita as etapas 4, 5 e 6
Para maior precisão, continue este processo para encontrar centenas, milhares e mais lugares em sua resposta. Continue usando este ciclo até encontrar a casa decimal desejada.
Compreendendo o processo
Etapa 1. Imagine o número que você calculou a raiz quadrada como a área S de um quadrado
Como a área de um quadrado é P2 onde P é o comprimento de um dos lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada do seu número, você está na verdade tentando calcular o comprimento P desse lado do quadrado.
Etapa 2. Determine as variáveis das letras para cada dígito de sua resposta
Defina a variável A como o primeiro dígito de P (a raiz quadrada que estamos tentando calcular). B será o segundo dígito, C o terceiro dígito e assim por diante.
Etapa 3. Determine as variáveis das letras para cada parte do seu número inicial
Defina a variável Suma para o primeiro par de dígitos em S (seu valor inicial), Sb para o segundo par de dígitos, etc.
Etapa 4. Compreenda a relação entre este método e a divisão longa
Esse método de encontrar a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide seu número inicial pela raiz quadrada, fornecendo a raiz quadrada da resposta. Assim como no problema da divisão longa, você está interessado apenas no próximo dígito em cada etapa. Desta forma, você está interessado apenas nos próximos dois dígitos em cada etapa (que é o próximo dígito em cada etapa para a raiz quadrada).
Etapa 5. Encontre o maior número cujo valor quadrado é menor ou igual a Suma.
O primeiro dígito de A em nossa resposta é o maior número inteiro cujo valor quadrado não excede Suma (ou seja, A de modo que A² Sa <(A + 1) ²). Em nosso exemplo, Suma = 7 e 2² 7 <3², então A = 2.
Observe que, por exemplo, se você quiser dividir 88962 por 7 usando a divisão longa, as primeiras etapas são praticamente as mesmas: você verá o primeiro dígito de 88962 (que é 8) e estará procurando o maior dígito que, quando multiplicado por 7, é menor ou igual a 8 Basicamente, você está procurando d de modo que 7 × d 8 <7 × (d + 1). Nesse caso, d será igual a 1
Passo 6. Imagine o valor do quadrado cuja área você está prestes a começar a trabalhar
Sua resposta, a raiz quadrada de seu número inicial, é P, que descreve o comprimento do quadrado com área S (seu número inicial). Suas notas para A, B, C representam os dígitos no valor de P. Outra maneira de dizer isso é 10A + B = P (para uma resposta de dois dígitos), 100A + 10B + C = P (para uma três- dígito de resposta), etc.
Em nosso exemplo, (10A + B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Lembre-se de que 10A + B representa nossa resposta, P, com B na posição das unidades e A na posição das dezenas. Por exemplo, com A = 1 e B = 2, então 10A + B é igual a 12. (10A + B) ² é a área total do quadrado, enquanto 100A² é a área do maior quadrado nela, B² é a área do menor quadrado nele, e 10A × B é a área dos dois retângulos restantes. Fazendo esse processo longo e complicado, encontramos a área total de um quadrado somando as áreas dos quadrados e retângulos internos.
Etapa 7. Subtraia A² de Suma.
Diminui um par de dígitos (Sb) de S. Valor de Suma Sb perto da área total do quadrado, que você acabou de usar para subtrair o quadrado interno maior. O restante pode ser considerado como o número N1, que obtivemos na etapa 4 (N1 = 380 em nosso exemplo). N1 é igual a 2 & vezes: 10A × B + B² (área dos dois retângulos mais a área do quadrado menor).
Etapa 8. Encontre N1 = 2 × 10A × B + B², que também é escrito como N1 = (2 × 10A + B) × B
Em nosso exemplo, você já conhece N1 (380) e A (2), então você tem que encontrar B. B provavelmente não é um número inteiro, então você realmente precisa encontrar o maior inteiro B tal que (2 × 10A + B) × B N1. Então você tem: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Etapa 9. Concluir
Para resolver esta equação, multiplique A por 2, mude o resultado para a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar por 10), coloque B na posição das unidades e multiplique o número por B. Em outras palavras, resolva (2 × 10A + B) × B. Isso é exatamente o que você faz quando escreve "N_ × _ =" (com N = 2 × A) no quadrante inferior direito na etapa 4. Na etapa 5, você encontra o maior inteiro B que corresponde a o número abaixo dele para que (2 × 10A + B) × B N1.
Etapa 10. Subtraia a área (2 × 10A + B) × B da área total
Esta subtração resulta na área S- (10A + B) ² que não foi calculada (e que será usada para calcular o próximo dígito da mesma forma).
Etapa 11. Para calcular o próximo dígito, C, repita o processo
Abaixe o próximo par (Sc) de S para obter N2 à esquerda e encontrar o maior C de modo que você tenha (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (equivalente a escrever duas vezes o número de dois dígitos "AB" seguido por "_ × _ =". Encontre o maior dígito correspondente nos espaços em branco, o que dá uma resposta menor ou igual a N2, como antes.
Pontas
- Mover uma vírgula decimal por um múltiplo de dois dígitos em um número (um múltiplo de 100), significa mover uma vírgula decimal por um múltiplo de um dígito em sua raiz quadrada (um múltiplo de 10).
- Neste exemplo, 1,73 pode ser considerado um "resto": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Este método pode ser usado para qualquer base, não apenas para a base 10 (decimal).
- Você pode usar o cálculo que for mais conveniente para você. Algumas pessoas escrevem o resultado acima do número inicial.
- Uma maneira alternativa de usar frações repetidas é seguir esta fórmula: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +…))). Por exemplo, para calcular a raiz quadrada de 780, 14, o número inteiro cujo valor quadrado está mais próximo de 780, 14 é 28, então z = 780, 14, x = 28 ey = -3, 86. Inserindo valores e calcular estimativas apenas para x + y / (2x) produz (em termos mais simples) 78207/20800 ou cerca de 27,931 (1); próximo termo, 4374188/156607 ou aproximadamente 27, 930986 (5). Cada termo adiciona cerca de 3 casas decimais à precisão do número anterior de casas decimais.
