Em um “sistema de equações”, você é solicitado a resolver duas ou mais equações simultaneamente. Quando as duas equações têm duas variáveis diferentes, por exemplo x e y, a solução pode parecer difícil no início. Felizmente, depois de saber o que precisa fazer, você pode simplesmente usar suas habilidades algébricas (e a ciência de calcular frações) para resolver o problema. Aprenda também como desenhar essas duas equações se você for um aluno visual ou se for exigido pelo professor. Os desenhos o ajudarão a identificar o assunto ou verificar os resultados do seu trabalho. No entanto, esse método é mais lento do que os outros métodos e não pode ser usado para todos os sistemas de equações.
Etapa
Método 1 de 3: usando o método de substituição
Etapa 1. Mova as variáveis para o lado oposto da equação
O método de substituição começa “encontrando o valor de x” (ou qualquer outra variável) em uma das equações. Por exemplo, digamos que a equação do problema é 4x + 2y = 8 e 5x + 3y = 9. Comece trabalhando na primeira equação. Reorganize a equação subtraindo 2y em ambos os lados. Assim, você obtém 4x = 8 - 2y.
Este método geralmente usa frações no final. Se você não gosta de contar frações, tente o método de eliminação abaixo
Etapa 2. Divida os dois lados da equação para "encontrar o valor de x"
Uma vez que o termo x (ou qualquer variável que você está usando) esteja sozinho em um lado da equação, divida ambos os lados da equação pelos coeficientes para que apenas a variável permaneça. Como um exemplo:
- 4x = 8 - 2y
- (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
- x = 2 - y
Etapa 3. Insira o valor x da primeira equação na segunda equação
Certifique-se de inseri-lo na segunda equação, em vez daquela em que você acabou de trabalhar. Substitua (substitua) a variável x na segunda equação. Assim, a segunda equação agora tem apenas uma variável. Como um exemplo:
- É conhecido x = 2 - y.
- Sua segunda equação é 5x + 3y = 9.
- Depois de trocar a variável x na segunda equação com o valor x da primeira equação, obtemos "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Etapa 4. Resolva as variáveis restantes
Agora, sua equação tem apenas uma variável. Calcule a equação com operações algébricas comuns para encontrar o valor da variável. Se as duas variáveis se cancelarem, pule direto para a última etapa. Caso contrário, você obterá um valor para uma das variáveis:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Se você não entender esta etapa, aprenda a adicionar frações.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Etapa 5. Use a resposta obtida para encontrar o valor verdadeiro de x na primeira equação
Não pare ainda porque seus cálculos ainda não foram feitos. Você deve inserir a resposta obtida na primeira equação para encontrar o valor das variáveis restantes:
- É conhecido y = -2
- Uma das equações da primeira equação é 4x + 2y = 8. (Você pode usar qualquer um.)
- Substitua a variável y por -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Etapa 6. Saiba o que fazer se as duas variáveis se cancelarem
Quando você entra x = 3y + 2 ou uma resposta semelhante à segunda equação, o que significa que você está tentando obter uma equação que tem apenas uma variável. Às vezes, você simplesmente obtém a equação sem variável. Verifique seu trabalho e certifique-se de colocar (reordenar) a equação um na equação dois, em vez de voltar à primeira equação. Quando tiver certeza de que não fez nada de errado, escreva um dos seguintes resultados:
- Se a equação não tiver variáveis e não for verdadeira (por exemplo, 3 = 5), este problema não tem resposta. (Quando isso é representado graficamente, essas duas equações são paralelas e nunca se encontram.)
- Se a equação não tiver variáveis e Correto, (por exemplo, 3 = 3), o que significa que a questão tem respostas ilimitadas. A equação um é exatamente igual à equação dois. (Quando representadas graficamente, essas duas equações são a mesma linha.)
Método 2 de 3: usando o método de eliminação
Etapa 1. Encontre as variáveis mutuamente exclusivas
Às vezes, a equação do problema já é cancelar um ao outro quando adicionado. Por exemplo, se você fizer a equação 3x + 2y = 11 e 5x - 2y = 13, os termos "+ 2y" e "-2y" se cancelarão e removerão a variável "y" da equação. Observe a equação do problema e veja se há variáveis que se anulam, como no exemplo. Caso contrário, vá para a próxima etapa.
Etapa 2. Multiplique a equação por um para que uma variável seja removida
(Pule esta etapa se as variáveis já se cancelam.) Se a equação não tem variáveis que se cancelam sozinhas, altere uma das equações para que elas possam se cancelar umas às outras. Dê uma olhada nos exemplos a seguir para que você possa entendê-los facilmente:
- As equações do problema são 3x - y = 3 e - x + 2y = 4.
- Vamos mudar a primeira equação para que a variável y anulam-se mutuamente. (Você pode usar a variável x. A resposta final obtida será a mesma.)
- Variável - y na primeira equação deve ser eliminado por + 2a na segunda equação. Como, multiplique - y com 2.
- Multiplique ambos os lados da equação por 2, da seguinte maneira: 2 (3x - y) = 2 (3), tão 6x - 2y = 6. Agora, tribo - 2a irá cancelar um ao outro com + 2a na segunda equação.
Etapa 3. Combine as duas equações
O truque é adicionar o lado direito da primeira equação ao lado direito da segunda equação e adicionar o lado esquerdo da primeira equação ao lado esquerdo da segunda equação. Se feito corretamente, uma das variáveis se cancelará. Vamos tentar continuar o cálculo do exemplo anterior:
- Suas duas equações são 6x - 2y = 6 e - x + 2y = 4.
- Some os lados esquerdos das duas equações: 6x - 2y - x + 2y =?
- Some os lados direitos das duas equações: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Etapa 4. Obtenha o último valor da variável
Simplifique sua equação composta e trabalhe com álgebra padrão para obter o valor da última variável. Se, após simplificar, a equação não tiver variáveis, vá para a última etapa desta seção.
Caso contrário, você obterá um valor para uma das variáveis. Como um exemplo:
- É conhecido 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Variáveis de grupo x e y juntos: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Simplifique a equação: 5x = 10
- Encontre o valor x: (5x) / 5 = 10/5, obter x = 2.
Etapa 5. Encontre o valor de outra variável
Você encontrou o valor de uma variável, mas e quanto à outra? Insira sua resposta em uma das equações para encontrar o valor da variável restante. Como um exemplo:
- É conhecido x = 2, e uma das equações do problema é 3x - y = 3.
- Substitua a variável x por 2: 3 (2) - y = 3.
- Encontre o valor de y na equação: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, tão 6 = 3 + y
- 3 = y
Etapa 6. Saiba o que fazer quando as duas variáveis se cancelam
Às vezes, combinar duas equações resulta em uma equação que não faz sentido ou não ajuda a resolver o problema. Reveja seu trabalho e, se tiver certeza de que não fez nada de errado, escreva uma das duas respostas a seguir:
- Se a equação combinada não tiver variáveis e não for verdadeira (por exemplo, 2 = 7), este problema não tem resposta. Essa resposta se aplica a ambas as equações. (Quando isso é representado graficamente, essas duas equações são paralelas e nunca se encontram.)
- Se a equação combinada não tiver variáveis e Correto, (por exemplo, 0 = 0), o que significa que a questão tem respostas ilimitadas. Essas duas equações são idênticas entre si. (Quando representadas graficamente, essas duas equações são a mesma linha.)
Método 3 de 3: Desenhe um gráfico de equações
Etapa 1. Execute este método somente quando instruído
A menos que você esteja usando um computador ou uma calculadora gráfica, este método pode fornecer apenas respostas aproximadas. Seu professor ou livro pode lhe dizer para usar este método para adquirir o hábito de desenhar equações como linhas. Este método também pode ser usado para verificar a resposta a um dos métodos acima.
A ideia principal é que você precisa descrever as duas equações e encontrar seu ponto de intersecção. O valor de xey neste ponto de interseção é a resposta para o problema
Etapa 2. Encontre os valores y de ambas as equações
Não combine as duas equações e altere cada equação para que o formato seja "y = _x + _". Como um exemplo:
- Sua primeira equação é 2x + y = 5. Mudar para y = -2x + 5.
- Sua primeira equação é - 3x + 6y = 0. Mudar para 6y = 3x + 0, e simplificar para y = x + 0.
- Se suas duas equações são exatamente iguais, a linha inteira é a "interseção" das duas equações. Escrever respostas ilimitadas como uma resposta.
Etapa 3. Desenhe os eixos de coordenadas
Desenhe uma linha vertical do “eixo y” e uma linha horizontal do “eixo x” no papel milimetrado. Começando no ponto onde os dois eixos se cruzam (0, 0), anote os rótulos de número 1, 2, 3, 4 e assim por diante apontando sequencialmente para cima no eixo y e apontando para a direita no eixo x. Depois disso, anote os rótulos de número -1, -2 e assim por diante apontando sequencialmente para baixo no eixo y e apontando para a esquerda no eixo x.
- Se você não tiver papel quadriculado, use uma régua para garantir que o espaçamento entre cada número seja exatamente o mesmo.
- Se você estiver usando números grandes ou decimais, recomendamos dimensionar seu gráfico (por exemplo, 10, 20, 30 ou 0, 1, 0, 2, 0, 3 em vez de 1, 2, 3).
Etapa 4. Desenhe o ponto de interceptação y para cada equação
Se a equação estiver na forma y = _x + _, você pode começar a desenhar um gráfico fazendo o ponto onde a linha da equação se cruza com o eixo y. O valor de y é sempre igual ao último número da equação.
-
Continuando o exemplo anterior, a primeira linha (y = -2x + 5) cruza o eixo y em
Etapa 5.. segunda linha (y = x + 0) cruza o eixo y em 0. (Esses pontos são escritos como (0, 5) e (0, 0) no gráfico.)
- Se possível, desenhe a primeira e a segunda linhas com canetas ou lápis de cores diferentes.
Etapa 5. Use a inclinação para continuar a linha
Em formato de equação y = _x + _, o número na frente de x indica o “nível de inclinação” da linha. Cada vez que x é aumentado em um, o valor de y aumentará de acordo com o número de níveis de inclinação. Use esta informação para encontrar os pontos para cada linha no gráfico quando x = 1. (Você também pode inserir x = 1 em cada equação e encontrar o valor de y.)
- Continuando o exemplo anterior, a linha y = -2x + 5 tem uma inclinação de - 2. No ponto x = 1, a linha se move baixa por 2 a partir do ponto x = 0. Desenhe uma linha conectando (0, 5) com (1, 3).
- Linha y = x + 0 tem uma inclinação de ½. Em x = 1, a linha se move andar de do ponto x = 0. Desenhe uma linha conectando (0, 0) com (1,).
- Se duas linhas têm a mesma inclinação, os dois nunca se cruzarão. Portanto, este sistema de equações não tem resposta. Escrever sem resposta como uma resposta.
Etapa 6. Continue conectando as linhas até que as duas linhas se cruzem
Pare de trabalhar e dê uma olhada em seu gráfico. se as duas linhas se cruzarem, passe para a próxima etapa. Caso contrário, tome uma decisão com base na posição de suas duas linhas:
- Se as duas linhas se aproximarem, continue a conectar os pontos das listras.
- Se as duas linhas se afastarem, volte e conecte os pontos em direções opostas, começando em x = 1.
- Se as duas linhas estiverem muito distantes, tente pular e conectar os pontos mais distantes, por exemplo x = 10.
Etapa 7. Encontre a resposta no ponto de interseção
Depois que as duas linhas se cruzam, o valor de xey naquele ponto é a resposta para o seu problema. Se você tiver sorte, a resposta será um número inteiro. Por exemplo, em nosso exemplo, as duas linhas se cruzam no ponto (2, 1) então a resposta é x = 2 ey = 1. Em alguns sistemas de equações, o ponto onde a linha se cruza é entre dois números inteiros e, se o gráfico não for muito preciso, é difícil apontar onde os valores xey estão no ponto de intersecção. Se permitido, você pode escrever “x está entre 1 e 2” como a resposta ou usar o método de substituição ou eliminação para encontrar a resposta.
Pontas
- Você pode verificar seu trabalho inserindo as respostas na equação original. Se a equação for verdadeira (por exemplo, 3 = 3), significa que sua resposta está correta.
- Ao usar o método de eliminação, às vezes você tem que multiplicar a equação por um número negativo para que as variáveis possam se anular.
