Um vetor é uma quantidade física que tem magnitude e direção (por exemplo, velocidade, aceleração e deslocamento), ao contrário de um escalar que consiste em apenas magnitude (por exemplo, velocidade, distância ou energia). Se escalares podem ser adicionados adicionando magnitudes (por exemplo, 5 kJ de trabalho mais 6 kJ de trabalho é igual a 11 kJ de trabalho), os vetores são um pouco difíceis de adicionar ou subtrair. Consulte a Etapa 1 abaixo para aprender algumas maneiras de adicionar ou subtrair vetores.
Etapa
Método 1 de 3: Adicionando e subtraindo vetores cujos componentes são conhecidos
Etapa 1. Escreva os componentes dimensionais do vetor em notação vetorial
Como os vetores têm magnitude e direção, eles geralmente podem ser divididos em partes com base nas dimensões x, y e / ou z. Essas dimensões são geralmente escritas em uma notação semelhante para descrever um ponto em um sistema de coordenadas (por exemplo, e outros). Se você conhece esta parte, adicionar ou subtrair vetores é muito fácil, basta adicionar ou subtrair suas coordenadas x, y e z.
- Observe se as dimensões do vetor são 1, 2 ou 3. Portanto, o vetor pode ter componentes x, x e y ou x, y e z. Nosso exemplo a seguir usa um vetor tridimensional, mas o processo é como um vetor unidimensional ou bidimensional.
- Suponha que temos dois vetores tridimensionais, vetor A e vetor B. Podemos escrever esses vetores usando notação vetorial, como A = e B =, onde a1 e a2 são componentes x, b1 e b2 são componentes y e c1 e c2 são componentes z.
Etapa 2. Para adicionar os dois vetores, some seus componentes
Se os dois componentes de um vetor são conhecidos, você pode adicionar os vetores adicionando os componentes de cada um. Em outras palavras, adicione o componente x do primeiro vetor ao componente x do segundo vetor e faça o mesmo para y e z. A resposta que você obtém ao somar os componentes x, y e z desses vetores são os componentes x, y e z do seu novo vetor.
- Em termos gerais, A + B =.
- Vamos adicionar dois vetores A e B. A = e B =. A + B =, ou.
Etapa 3. Para subtrair os dois vetores, subtraia seus componentes
Como discutiremos mais tarde, subtrair um vetor de outro pode ser considerado como adicionar seus vetores recíprocos. Se os componentes de ambos os vetores são conhecidos, é possível subtrair um vetor do outro subtraindo o primeiro componente do segundo componente (ou adicionando os componentes negativos de ambos).
- Em termos gerais, A-B =
- Vamos subtrair dois vetores A e B. A = e B =. A - B =, ou.
Método 2 de 3: adicionar e subtrair imagens usando o método cabeça e cauda
Etapa 1. Simbolize o vetor desenhando-o usando a cabeça e a cauda
Como os vetores têm magnitude e direção, podemos dizer que eles têm cauda e cabeça. Em outras palavras, um vetor tem um ponto inicial e um ponto final que indica a direção do vetor cuja distância do ponto inicial é igual à magnitude do vetor. Quando desenhado, o vetor assume a forma de uma seta. A ponta da seta é a ponta do vetor e o final da linha do vetor é a cauda.
Se você estiver criando um desenho vetorial com dimensões, precisará medir e desenhar todos os cantos com precisão. O ângulo errado da imagem afetará o resultado resultante quando dois vetores são adicionados ou subtraídos usando este método
Etapa 2. Para adicionar, desenhar ou mover o segundo vetor de forma que a cauda encontre a ponta do primeiro vetor
Isso é chamado de combinação de vetores de ponta a ponta. Se você está apenas adicionando dois vetores, aqui está o que você precisa fazer antes de encontrar o vetor resultante.
Observe que a ordem em que você adiciona os vetores não importa, supondo que você use o mesmo ponto de partida. Vetor A + Vetor B = Vetor B + Veltor A
Etapa 3. Para subtrair, adicione um sinal negativo ao vetor
Reduzir vetores usando imagens é muito simples. Inverta a direção do vetor, mas mantenha a mesma magnitude e some a ponta e a cauda do vetor como de costume. Em outras palavras, para subtrair um vetor, gire o vetor 180o e some.
Etapa 4. Se você adicionar ou subtrair mais de dois vetores, combine todos os vetores em uma ordem de ponta a ponta
A ordem de fusão não importa. Este método pode ser usado independentemente do número de vetores.
Etapa 5. Desenhe um novo vetor da cauda do primeiro vetor até a cabeça do último vetor
Esteja você adicionando / subtraindo dois vetores ou cem, o vetor que se estende do seu ponto de partida inicial (a cauda do primeiro vetor) até o ponto final do seu último vetor (a cabeça do seu último vetor) é o vetor resultante ou a soma de todos os seus vetores. Observe que esse vetor é exatamente o mesmo que o vetor obtido pela soma de todos os componentes x, y e / ou z.
- Se você desenhar todos os seus vetores no tamanho, medindo todos os ângulos corretamente, você pode determinar a magnitude do vetor resultante medindo o comprimento. Você também pode medir o ângulo entre a resultante e qualquer vetor horizontal ou verticalmente para determinar sua direção.
- Se você não desenhar todos os seus vetores no tamanho, pode ter que calcular a magnitude da resultante usando trigonometria. Talvez as regras de seno e cosseno ajudem. Se você adicionar mais de dois vetores, é útil adicionar o primeiro vetor pelo segundo, depois adicionar a resultante do segundo ao terceiro e assim por diante. Consulte as seções a seguir para obter mais informações.
Etapa 6. Desenhe seu vetor resultante usando sua magnitude e direção
Um vetor é definido por seu comprimento e direção. Como acima, supondo que você desenhou seu vetor com precisão, a magnitude do seu novo vetor é seu comprimento e sua direção é o ângulo em relação à direção vertical ou horizontal. Use os vetores de unidade que você adiciona ou subtrai para determinar as unidades para a magnitude do seu vetor resultante.
Por exemplo, se os vetores adicionados representam a velocidade em ms-1, então o vetor resultante pode ser definido como "velocidade x ms-1 contra y o para a direção horizontal.
Método 3 de 3: Adicionando e Subtraindo Vetores Especificando Componentes Dimensionais do Vetor
Etapa 1. Use a trigonometria para determinar os componentes de um vetor
Para encontrar os componentes de um vetor, geralmente você precisa saber sua magnitude e direção em relação à direção horizontal ou vertical e compreender a trigonometria. Supondo um vetor bidimensional, primeiro pense em seu vetor como a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos dois lados são paralelos às direções xey. Esses dois lados podem ser considerados como componentes de um vetor cabeça-a-cauda que se somam para formar seu vetor.
- Os comprimentos de ambos os lados são iguais aos componentes xey do seu vetor e podem ser calculados usando trigonometria. Se x for uma magnitude de vetor, o lado adjacente ao ângulo do vetor (em relação à horizontal, vertical e outras direções) é xcos (θ), enquanto o lado oposto é xsin (θ).
- Também é muito importante observar a direção de seus componentes. Se o componente apontar para uma coordenada negativa, ele receberá um sinal negativo. Por exemplo, em um plano bidimensional, se um componente está apontando para a esquerda ou para baixo, ele é negativo.
- Por exemplo, digamos que temos um vetor com magnitude 3 e direção 135o em relação à horizontal. Com essas informações, podemos determinar que o componente x é 3cos (135) = - 2, 12 e o componente y é 3sin (135) = 2, 12
Etapa 2. Adicione ou subtraia dois ou mais vetores relacionados
Depois de encontrar os componentes de todos os seus vetores, some-os para encontrar os componentes do seu vetor resultante. Primeiro, some todas as magnitudes dos componentes horizontais (que são paralelos à direção x). Separadamente, some todas as magnitudes dos componentes verticais (que são paralelos à direção y). Se um componente for negativo (-), sua magnitude é subtraída, não adicionada. A resposta que você obtém é o componente de seu vetor resultante.
Por exemplo, o vetor da etapa anterior,, é adicionado ao vetor. Nesse caso, o vetor resultante se torna ou
Etapa 3. Calcule a magnitude do vetor resultante usando o Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras c2= a2+ b2, é usado para encontrar o comprimento do lado de um triângulo retângulo. Como o triângulo formado por nosso vetor resultante e seus componentes é um triângulo retângulo, podemos usá-lo para encontrar o comprimento e a magnitude do vetor. Com c como a magnitude do vetor resultante, que você está procurando, suponha que a seja a magnitude do componente x eb seja a magnitude do componente y. Resolva usando álgebra.
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Para encontrar a magnitude do vetor cujos componentes estivemos procurando na etapa anterior, use o Teorema de Pitágoras. Resolva o seguinte:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Etapa 4. Calcule a direção resultante usando a função Tangente
Finalmente, encontre o vetor resultante da direção. Use a fórmula = tan-1(b / a), onde é o tamanho do ângulo formado na direção x ou horizontal, b é o tamanho do componente y e a é o tamanho do componente x.
-
Para encontrar a direção do nosso vetor, use = tan-1(BA).
- = bronzeado-1(-6, 88/3, 66)
- = bronzeado-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Etapa 5. Desenhe seu vetor resultante de acordo com sua magnitude e direção
Conforme escrito acima, os vetores são definidos por sua magnitude e direção. Certifique-se de usar as unidades apropriadas para o tamanho do seu vetor.
Por exemplo, se nosso exemplo vetorial representa uma força (em Newtons), então podemos escrevê-la "forçar 7,79 N por -61,99 o para horizontal ".
Pontas
- O vetor é diferente do grande.
- Vetores com a mesma direção podem ser adicionados ou subtraídos adicionando ou subtraindo suas magnitudes. Se você resumir dois vetores que são opostos, suas magnitudes são subtraídas, não adicionadas.
- Os vetores representados na forma x i + y j + z k podem ser adicionados ou subtraídos adicionando ou subtraindo os coeficientes dos três vetores unitários. A resposta também está na forma de i, j e k.
- Você pode encontrar o tamanho de um vetor tridimensional usando a fórmula a2= b2+ c2+ d2 onde a é a magnitude do vetor, eb, c e d são os componentes de cada direção.
- Os vetores de coluna podem ser adicionados e subtraídos adicionando ou subtraindo os valores de cada linha.
