Um pentágono é um polígono com cinco lados retos. A maioria dos problemas que você encontrará na aula de matemática incluirá um pentágono regular com cinco lados iguais. Existem duas maneiras gerais de encontrar amplitude, dependendo da quantidade de informações que você possui.
Etapa
Método 1 de 3: Encontrando a Área do Comprimento Lateral e Apothem
Etapa 1. Comece com os comprimentos laterais e o apótema
Este método pode ser usado para pentágonos regulares com cinco lados iguais. Além dos comprimentos laterais, você precisará do "appothem" do pentágono. O apótema é uma linha que vai do centro do pentágono a um dos lados que cruza o lado em um ângulo reto de 90º.
- Não confunda o apótema e o raio, que toca um dos vértices e não o ponto médio. Se você só conhece o comprimento do lado e o raio, pule este método e vá para o próximo método.
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Usaremos o exemplo de um pentágono com comprimento lateral
Etapa 3. unidade e apotem
Passo 2. unidade.
Etapa 2. Divida o pentágono em cinco triângulos
Desenhe cinco linhas do centro do pentágono, levando a cada vértice. Agora você tem cinco triângulos.
Etapa 3. Encontre a área de um dos triângulos
Cada triângulo tem pedestal que é igual ao lado do pentágono. Cada triângulo também tem alta que é igual ao apótema do pentágono. (Lembre-se de que a altura de um triângulo se estende do vértice do triângulo até o lado oposto, formando um ângulo reto.) Para encontrar a área de qualquer triângulo, basta calcular x base x altura.
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Em nosso exemplo, a área do triângulo = x 3 x 2 =
Etapa 3. unidade ao quadrado.
Etapa 4. Multiplique por cinco para encontrar a área total
Dividimos o pentágono em cinco triângulos iguais. Para encontrar a área total, basta multiplicar a área de um dos triângulos por cinco.
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Em nosso exemplo, L (pentágono total) = 5 x L (triângulo) = 5 x 3 =
Etapa 15. unidade ao quadrado.
Método 2 de 3: Encontrando a Área do Comprimento Lateral
Etapa 1. Comece apenas com os comprimentos laterais
Este método se aplica apenas a pentágonos regulares que têm cinco lados iguais.
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Neste exemplo, usaremos um pentágono com comprimento lateral
Etapa 7. unidade.
Etapa 2. Divida o pentágono em cinco triângulos
Desenhe uma linha do centro do pentágono até qualquer vértice. Repita isso para todos os pontos de canto. Agora você tem cinco triângulos, cada um do mesmo tamanho.
Etapa 3. Divida o triângulo ao meio
Desenhe uma linha do centro do pentágono até a base de um dos triângulos. Esta linha deve tocar a base em um ângulo reto de 90, dividindo o triângulo em dois triângulos iguais menores.
Etapa 4. Cite um dos triângulos menores
Já podemos citar um dos lados e um dos ângulos do triângulo menor:
- pedestal triângulo tem o comprimento do lado do pentágono. Em nosso exemplo, o comprimento da base é x 7 = 3,5 unidades.
- Grande canto no centro do pentágono está sempre 36º. (Começando no centro de 360, você pode dividi-lo em 10 desses triângulos menores. 360 10 = 36, então o ângulo em um dos triângulos é 36º.)
Etapa 5. Calcule a altura do triângulo. Alta desse triângulo é o lado que é perpendicular (formando um ângulo reto) com o lado do pentágono, apontando para o centro. Podemos usar trigonometria básica para encontrar o comprimento deste lado:
- Em um triângulo retângulo, tangente de um ângulo é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente.
- O lado oposto ao ângulo de 36º é a base do triângulo (metade do lado do pentágono). O lado adjacente ao ângulo 36º é a altura do triângulo.
- tan (36º) = oposto / adjacente
- Em nosso exemplo, tan (36º) = 3,5 / altura
- altura x bronzeado (36º) = 3, 5
- altura = 3,5 / bronzeado (36º)
- altura = (aproximadamente) 4, 8 unidade.
Etapa 6. Encontre a área do triângulo
A área de um triângulo é base x altura. (L = em). Agora que você sabe a altura, insira esses valores para encontrar a área do seu pequeno triângulo.
Em nosso exemplo, a área do pequeno triângulo = em = (3, 5) (4, 8) = 8, 4 unidades ao quadrado
Etapa 7. Multiplique para encontrar a área do pentágono
Um desses triângulos menores é 1/10 da área do pentágono. Para encontrar a área total, multiplique a área do triângulo menor por 10.
Em nosso exemplo, a área de todo o pentágono = 8, 4 x 10 = 84 unidade ao quadrado.
Método 3 de 3: usando fórmulas
Etapa 1. Use o perímetro e apotema
O apótema é uma linha do centro de um pentágono que toca um lado em um ângulo reto. Se você souber a duração do apótema, poderá usar esta fórmula fácil.
- Área de um pentágono regular = ka / 2, onde k = perímetro e a = apótema.
- Se você não souber o perímetro, calcule o perímetro a partir do comprimento lateral: k = 5s, onde s é o comprimento lateral.
Etapa 2. Use os comprimentos laterais
Se você conhece apenas os comprimentos laterais, use a seguinte fórmula:
- Área do pentágono regular = (5 s 2) / (4tan (36º)), onde s = comprimento lateral.
- tan (36º) = (5-2√5). Portanto, se sua calculadora não tiver uma função tan, use a fórmula Área = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Etapa 3. Escolha uma fórmula que use apenas o raio
Você pode até encontrar a área se conhecer apenas o raio. Use esta fórmula:
Área do pentágono regular = (5/2) r 2sin (72º), onde r é o raio.
Pontas
- Os exemplos fornecidos aqui usam valores arredondados para facilitar o cálculo. Se você medir o polígono real com os comprimentos laterais fornecidos, obterá resultados ligeiramente diferentes para os outros comprimentos e áreas.
- Se possível, use o método geométrico e o método da fórmula e compare os resultados para ter certeza de que você tem a resposta correta. Você pode obter uma resposta ligeiramente diferente se inserir a fórmula toda de uma vez (já que não fará os arredondamentos ao fazer o cálculo), mas a resposta deve ser praticamente a mesma.
- Um pentágono irregular, ou pentágono com lados desiguais, é mais difícil de aprender. A melhor abordagem geralmente é dividir o pentágono em triângulos e somar a área de cada triângulo. Você também pode precisar desenhar a forma maior ao redor do pentágono, calcular sua área e subtrair a área externa do pentágono.
- As fórmulas são derivadas de meios geométricos, quase iguais aos descritos aqui. Observe se você consegue descobrir como obter as fórmulas. A fórmula do raio é mais difícil de derivar do que as outras fórmulas (dica: você precisará de uma identidade de ângulo duplo ou duplo).
