Como desenhar um gráfico quadrado: 10 etapas (com imagens)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificação: 2024-02-01 14:15

Quando representada graficamente, a equação quadrática tem a forma machado² + bx + c ou a (x - h)² + k formar a letra U ou uma curva em U invertido chamada parábola. A representação gráfica de uma equação quadrática procura o vértice, a direção e, frequentemente, a interseção xey. Em casos de equações quadráticas bastante simples, inserir um conjunto de valores de xe traçar a curva com base nos pontos resultantes pode ser suficiente. Veja a Etapa 1 abaixo para começar.

Etapa

Etapa 1. Determine a forma da equação quadrática que você possui

As equações quadráticas podem ser escritas em três formas diferentes: forma geral, forma de vértice e forma quadrática. Você pode usar qualquer forma para representar graficamente uma equação quadrática; o processo de representar cada gráfico é ligeiramente diferente. Se você estiver fazendo o dever de casa, geralmente receberá perguntas em um desses dois formulários - em outras palavras, você não poderá escolher, então é melhor entender os dois. As duas formas da equação quadrática são:

• Forma geral.

  Nesta forma, a equação quadrática é escrita como: f (x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números reais e a não é zero.

  Por exemplo, duas equações quadráticas de forma geral são f (x) = x² + 2x + 1 e f (x) = 9x² + 10x -8.

• Forma do pico.

  Nesta forma, a equação quadrática é escrita como: f (x) = a (x - h)² + k onde a, h e k são números reais e a não é zero. É chamada de forma de vértice porque hek fornecerão imediatamente o vértice (ponto médio) de sua parábola no ponto (h, k).

  As duas equações de forma de vértice são f (x) = 9 (x - 4)² + 18 e -3 (x - 5)² + 1

• Para representar graficamente qualquer tipo de equação, devemos primeiro encontrar o vértice da parábola, que é o ponto médio (h, k) no final da curva. As coordenadas dos picos na forma geral são calculadas como: h = -b / 2a ek = f (h), enquanto na forma de pico, hek estão na equação.

Etapa 2. Defina suas variáveis

Para resolver um problema quadrático, as variáveis a, b e c (ou a, h e k) geralmente precisam ser definidas. Um problema comum de álgebra fornecerá uma equação quadrática com as variáveis disponíveis, geralmente na forma geral, mas às vezes na forma de pico.

• Por exemplo, para uma equação de forma geral f (x) = 2x² + 16x + 39, temos a = 2, b = 16 e c = 39.
• Para a equação de forma de pico f (x) = 4 (x - 5)² + 12, temos a = 4, h = 5 ek = 12.

Etapa 3. Calcule h

Na equação da forma de vértice, seu valor h já é dado, mas na equação da forma geral, o valor h deve ser calculado. Lembre-se de que, para equações de forma geral, h = -b / 2a.

• Em nosso exemplo de forma geral (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Depois de resolver, descobrimos que h = - 4.
• Em nosso exemplo de forma de vértice (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), sabemos que h = 5 sem fazer nenhuma matemática.

Etapa 4. Calcule k

Como h, k já é conhecido na equação da forma de pico. Para equações de forma geral, lembre-se de que k = f (h). Em outras palavras, você pode encontrar k substituindo todos os valores x em sua equação pelos valores h que acabou de encontrar.

• Já determinamos em nosso exemplo de forma geral que h = -4. Para encontrar k, resolvemos nossa equação inserindo nosso valor de h no lugar de x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Etapa 7.

• Em nosso exemplo de forma de pico, novamente, sabemos o valor de k (que é 12) sem ter que fazer nenhuma matemática.

Etapa 5. Desenhe seu pico

O vértice da sua parábola é o ponto (h, k) - h representa a coordenada x, enquanto k representa a coordenada y. O vértice é o ponto médio de sua parábola - na parte inferior do U ou no topo do U invertido. Conhecer os vértices é uma parte importante do desenho de uma parábola precisa - frequentemente, em trabalhos escolares, determinar o vértice é a parte a ser procurada em uma pergunta.

• Em nosso exemplo de forma geral, nosso pico é (-4, 7). Assim, nossa parábola culminará 4 etapas à esquerda de 0 e 7 etapas acima (0, 0). Devemos representar este ponto em nosso gráfico, certificando-se de marcar as coordenadas.
• Em nosso exemplo de forma de vértice, nosso vértice é (5, 12). Temos que desenhar um ponto 5 passos para a direita e 12 passos acima (0, 0).

Etapa 6. Desenhe o eixo da parábola (opcional)

O eixo de simetria de uma parábola é uma linha que passa pelo seu centro, dividindo-o exatamente no meio. Neste eixo, o lado esquerdo da parábola refletirá o lado direito. Para equações quadráticas na forma machado² + bx + c ou a (x - h)² + k, o eixo de simetria é a linha que é paralela ao eixo y (em outras palavras, exatamente vertical) e passa pelo vértice.

No caso do nosso exemplo de forma geral, o eixo é a linha paralela ao eixo y e passando pelo ponto (-4, 7). Mesmo que não faça parte da parábola, marcar essa linha em seu gráfico irá ajudá-lo a ver a forma simétrica da curva da parábola

Etapa 7. Encontre a direção da abertura da parábola

Depois de saber o pico e o eixo da parábola, a seguir precisamos saber se a parábola se abre para cima ou para baixo. Felizmente, isso é fácil. Se o valor de a for positivo, a parábola abrirá para cima, enquanto se o valor de a for negativo, a parábola abrirá para baixo (ou seja, a parábola será invertida).

• Para o nosso exemplo de forma geral (f (x) = 2x² + 16x + 39), sabemos que temos uma parábola que se abre porque, em nossa equação, a = 2 (positivo).
• Para o nosso exemplo de forma de vértice (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), sabemos que também temos uma parábola que se abre porque a = 4 (positivo).

Etapa 8. Se necessário, encontre e desenhe a interceptação x

Freqüentemente, em trabalhos escolares, você será solicitado a encontrar a interceptação x na parábola (que é um ou dois pontos onde a parábola encontra o eixo x). Mesmo que você não encontre um, esses dois pontos são muito importantes para desenhar uma parábola precisa. No entanto, nem todas as parábolas têm uma interceptação x. Se sua parábola tem um vértice que se abre e seu vértice está acima do eixo x ou se abre para baixo e seu vértice está abaixo do eixo x, a parábola não terá interceptação x. Caso contrário, resolva sua interceptação x de uma das seguintes maneiras:

• Basta fazer f (x) = 0 e resolver a equação. Este método pode ser usado para equações quadráticas simples, especialmente na forma de pico, mas será muito difícil para equações complexas. Veja abaixo um exemplo

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Raiz (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 e 13 é a interceptação x na parábola.

• Fatore sua equação. Algumas equações na forma machado² + bx + c pode ser facilmente fatorado na forma (dx + e) (fx + g), onde dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx e e × g = c. Neste caso, suas interceptações x são valores de x que farão qualquer termo entre parênteses = 0. Por exemplo:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Nesse caso, sua única interceptação x é -1 porque tornar x igual a -1 tornará qualquer termo de fator entre parênteses igual a 0.

• Use a fórmula quadrática. Se você não puder resolver facilmente sua interceptação x ou fatorar sua equação, use uma equação especial chamada fórmula quadrática que foi criada para esse propósito. Se ainda não foi resolvido, converta sua equação para a forma ax² + bx + c, em seguida, insira a, b e c na fórmula x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac)) / 2a. Observe que esse método geralmente fornece duas respostas para o valor de x, o que está OK - significa apenas que sua parábola tem duas interceptações x. Veja abaixo um exemplo:

  • -5x² + 1x + 10 é colocado na fórmula quadrática assim:
  • x = (-1 +/- Raiz (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Raiz (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- Root (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14, 18) / - 10
  • x = (13, 18 / -10) e (-15, 18 / -10). A interceptação x na parábola é x = - 1, 318 e 1, 518
  • Nosso exemplo anterior da forma geral, 2x² + 16x + 39 é colocado na fórmula quadrática da seguinte forma:
  • x = (-16 +/- Root (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Root (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- Root (-56) / - 10
  • Como é impossível encontrar a raiz quadrada de um número negativo, sabemos que esta parábola não tem interceptação x.

Etapa 9. Se necessário, encontre e desenhe a interceptação y

Embora muitas vezes não seja necessário procurar a interceptação y nas equações (o ponto onde a parábola passa pelo eixo y), você pode eventualmente ter que encontrá-la, especialmente se estiver na escola. O processo é bastante simples - apenas faça x = 0, então resolva sua equação para f (x) ou y, o que dá o valor de y onde sua parábola passa pelo eixo y. Ao contrário da interceptação x, uma parábola regular pode ter apenas uma interceptação y. Nota - para equações de forma geral, a interceptação y está em y = c.

• Por exemplo, sabemos que nossa equação quadrática é 2x² + 16x + 39 tem uma interceptação y em y = 39, mas também pode ser encontrado da seguinte maneira:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. A interceptação y da parábola está em y = 39.

    Conforme observado acima, a interceptação em y está em y = c.

• A forma da nossa equação de vértice é 4 (x - 5)² + 12 tem uma interceptação y que pode ser encontrada da seguinte maneira:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. A interceptação y da parábola está em y = 112.

Etapa 10. Se necessário, desenhe pontos adicionais e, em seguida, desenhe um gráfico

Agora você tem o vértice, a direção, a interceptação x e, possivelmente, a interceptação y em sua equação. Neste estágio, você pode tentar desenhar sua parábola usando os pontos que você tem como guia ou procurar outros pontos para preencher sua parábola para que a curva que você desenhe seja mais precisa. A maneira mais fácil de fazer isso é simplesmente inserir alguns valores de x em qualquer lado de seu vértice e, em seguida, plotar esses pontos usando os valores de y obtidos. Freqüentemente, os professores pedem que você procure vários pontos antes de desenhar sua parábola.

• Vamos revisar a equação x² + 2x + 1. Já sabemos que a interceptação x está apenas em x = -1. Como a curva só toca a interceptação x em um ponto, podemos concluir que o vértice é sua interceptação x, o que significa que o vértice é (-1, 0). Efetivamente, temos apenas um ponto para esta parábola - não o suficiente para desenhar uma boa parábola. Vamos procurar alguns outros pontos para ter certeza de desenhar um gráfico completo.

  • Vamos encontrar os valores de y para os seguintes valores de x: 0, 1, -2 e -3.
  • Para 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Nosso ponto é (0, 1).

  • Para 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Nosso ponto é (1, 4).

  • Para -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Nosso ponto é (-2, 1).

  • Para -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Nosso ponto é (-3, 4).

  • Desenhe esses pontos no gráfico e desenhe sua curva em forma de U. Observe que a parábola é perfeitamente simétrica - quando seus pontos em um lado da parábola são inteiros, você geralmente pode reduzir o trabalho de simplesmente refletir um determinado ponto no eixo de simetria da parábola para encontrar o mesmo ponto no outro lado da parábola.

Pontas

• Arredonde os números ou use frações de acordo com a solicitação do professor de álgebra. Isso o ajudará a representar melhor o gráfico da equação quadrática.
• Observe que em f (x) = ax² + bx + c, se b ou c for igual a zero, esses números desaparecerão. Por exemplo, 12x² + 0x + 6 torna-se 12x² + 6 porque 0x é 0.