A divisão binária pode ser resolvida usando o método de divisão longa, que é um método que pode ensinar você mesmo o processo de divisão, bem como criar programas de computador simples. Além disso, métodos complementares de subtração iterativa podem fornecer abordagens com as quais você pode não estar familiarizado, embora não sejam comumente usados para programação. As linguagens de máquina geralmente usam algoritmos de aproximação para serem mais eficientes, mas isso não é descrito neste artigo.
Etapa
Método 1 de 2: Usando Divisão Longa
Etapa 1. Aprenda novamente a divisão longa decimal
Se você não usa a divisão longa no sistema numérico decimal regular (base dez) há muito tempo, revise o básico usando o problema de exemplo 172 dividido por 4. Caso contrário, pule esta etapa e vá direto para a próxima etapa para explorar um processo semelhante com números binários.
- Numerador dividido por denominador, e o resultado é quociente.
- Compare o denominador com o primeiro número do numerador. Se o denominador for maior, continue adicionando números ao numerador até que o denominador seja menor. (Por exemplo, se calcularmos 172 dividido por 4, compararemos 4 com 1, sabemos que 4 é maior que 1, então prossiga para comparar 4 com 17.)
- Escreva o primeiro dígito do quociente acima do último numerador usado na comparação. Quando comparamos 4 com 17, vemos que 4 é coberto por 17 quatro vezes, então escrevemos 4 como o primeiro número do quociente, acima de 7.
- Multiplique e subtraia para obter o restante. Multiplique o quociente pelo denominador, o que significa 4 × 4 = 16. Escreva 16 em 17 e, em seguida, subtraia 17 por 16 para obter o resto, que é 1.
- Repita o processo. Mais uma vez comparamos o denominador, que é 4, com o próximo número, que é 1, percebemos que 4 é maior que 1, então "subtraímos" o próximo número do numerador, continuamos comparando 4 com 12. Vemos que 4 é coberto por 12 três vezes sem resto, então escrevemos 3 como o próximo número do quociente. A resposta é 43.
Etapa 2. Prepare um problema de divisão longa em binário
Vamos pegar 10101 11. Escreva como um problema para divisão longa, usando 10101 como numerador e 11 como denominador. Deixe um espaço acima como um local para escrever o quociente e abaixo como um local para escrever cálculos.
Etapa 3. Compare o denominador com o primeiro dígito do numerador
Funciona da mesma forma que a divisão longa em decimal, mas é realmente muito mais fácil no sistema numérico binário. Em binário, existem apenas duas opções, ou você não pode dividir o número pelo denominador (significando 0) ou o denominador é incluído apenas uma vez (significando 1):
11> 1, então 11 não é "coberto por" 1. Escreva o número 0 como o primeiro número do quociente (acima do primeiro dígito do numerador)
Etapa 4. Trabalhe no próximo número e repita até obter o número 1
A seguir estão as próximas etapas em nosso exemplo:
- Derive o próximo número do numerador. 11> 10. Escreva 0 no quociente.
- Abaixe o próximo número. 11 <101. Escreva o número 1 no quociente.
Etapa 5. Encontre o restante da divisão
Tal como acontece com os decimais de divisão longos, multiplique o número que acabamos de obter (1) pelo denominador (11) e escreva o resultado sob o numerador paralelo ao número que acabamos de calcular. No sistema numérico binário, podemos resumir esse processo, porque 1 x o denominador é sempre igual ao denominador:
- Escreva o denominador abaixo do numerador. Aqui, escreva 11 paralelo aos três primeiros dígitos do numerador (101).
- Conte 101-11 para obter o restante da divisão, que é 10. Veja como subtrair números binários se precisar reaprender.
Etapa 6. Repita até que o problema seja resolvido
Diminua o próximo número do denominador para o restante da divisão para obter 100. Como 11 <100, escreva 1 como o próximo número na divisão. Continue o cálculo como antes:
- Escreva 11 abaixo de 100 e subtraia para obter 1.
- Reduza o último dígito do numerador para 11.
- 11 = 11, então escreva 1 como o último dígito do quociente (resposta).
- Como não há resto, o cálculo está completo. A resposta é 00111, ou 111 apenas.
Etapa 7. Adicione pontos radix, se necessário
Às vezes, o resultado de um cálculo não é um número inteiro. Se você ainda tiver divisão após usar o último dígito, adicione ".0" ao numerador e "." ao quociente, então você ainda pode derivar mais um número e continuar o cálculo. Repita até atingir a precisão desejada e, a seguir, arredonde o resultado. No papel, você pode arredondar para baixo removendo o último 0 ou, se o último for 1, descarte-o e adicione o último número mais recente a 1. Na programação, siga um dos vários algoritmos de arredondamento padrão para evitar erros ao converter números binários para decimal e vice-versa.
- A divisão binária freqüentemente resulta em partes fracionárias repetidas, mais frequentemente do que o mesmo processo no sistema decimal.
- Isso é mais comumente chamado de "ponto de raiz", que se aplica a qualquer base, porque o termo "ponto decimal" se aplica apenas ao sistema decimal.
Método 2 de 2: usando o método complementar
Etapa 1. Compreenda o conceito básico
Uma maneira de resolver o problema da divisão - em qualquer base - é continuar subtraindo o denominador do numerador e depois o restante, contando quantas vezes esse processo pode ser repetido antes de obter um número negativo. O exemplo a seguir é um cálculo em base dez, calculando 26 7:
- 26 - 7 = 19 (subtrair 1 vez)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. Números negativos, então dê um passo para trás. O resultado é 3 e o restante é dividido por 5. Observe que esse método não calcula a parte fracionária da resposta.
Etapa 2. Aprenda a subtrair com complementos
Embora você possa usar o método acima em um sistema binário facilmente, também podemos reduzir o uso de um método mais eficiente, que economiza tempo ao programar o computador para fazer a divisão binária. Esta é a subtração com o método do complemento em binário. Aqui estão os princípios básicos, calculando 111 - 011 (certifique-se de que os dois números tenham o mesmo comprimento):
- Encontre o complemento de um para o segundo número, subtraindo cada dígito de 1. Esta etapa é fácil de fazer no sistema binário, mudando cada 1 para 0 e cada 0 para 1. Neste exemplo, 011 para 100.
- Adicione 1 ao resultado do cálculo: 100 + 1 = 101. Esse número é chamado de complemento de dois, então a subtração pode ser resolvida como uma adição. Em essência, o resultado desse cálculo é como adicionar números negativos e não subtrair números positivos, após a conclusão desse processo.
- Adicione o resultado ao primeiro número. Escreva e resolva o problema de adição: 111 + 101 = 1100.
- Remova mais números. Remova o primeiro número do resultado do cálculo para obter o resultado final. 1100 → 100.
Etapa 3. Combine os dois conceitos descritos acima
Agora você conhece o método de subtração para resolver problemas de divisão, bem como o método de complemento de dois para resolver problemas de subtração. Usando as etapas abaixo, você pode combinar os dois em um método para resolver o problema de divisão. Se quiser, tente resolver sozinho antes de continuar.
Etapa 4. Subtraia o denominador do numerador, adicionando o complemento de dois
Vamos trabalhar no problema 100011 000101. A primeira etapa é resolver 100011 - 000101, usando o método do complemento de dois para transformar esse cálculo em uma soma:
- Complemento de dois de 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Remova os números em excesso → 011110
Etapa 5. Adicione 1 ao resultado da divisão
Em um programa de computador, é aqui que você adiciona 1 ao quociente. No papel, faça anotações nos cantos para que não se misturem com outros trabalhos. Conseguimos subtrair uma vez, então o resultado da divisão até agora é 1.
Etapa 6. Repita o processo subtraindo o denominador do restante do cálculo
O resultado do nosso último cálculo é o resto da divisão depois que o denominador é "coberto" uma vez. Continue adicionando o complemento de dois do denominador em cada repetição e removendo dígitos extras. Adicione 1 ao quociente em cada iteração, repetindo até obter o restante do cálculo igual ou menor que o denominador:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (quociente 1 + 1 = 10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (quociente 10 + 1 = 11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 é menor que 101, então paramos por aqui. A resposta para este processo de divisão é 111. Enquanto o resto da divisão é o resultado final do processo de subtração, neste caso 0 (sem resto).
Pontas
- Instruções para aumentar (adicionar 1), diminuir (subtrair 1) ou remover da pilha (pilha pop) devem ser consideradas antes de aplicar matemática binária em um conjunto de instruções de máquina.
- O método de complemento de dois para subtração não funcionará se os números tiverem um número diferente de dígitos. Para corrigir isso, adicione um zero ao início do número para um número menor.
- Ignore os números negativos em números binários negativos antes de calcular, exceto para determinar se a resposta é positiva ou negativa.
