Como simplificar equações matemáticas: 13 etapas

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificação: 2024-01-15 08:22

Frequentemente, os alunos de matemática são solicitados a escrever suas respostas em sua forma mais simples - em outras palavras, para escrever as respostas da forma mais elegante possível. Embora longas, rígidas e curtas, além de elegantes, as equações são tecnicamente a mesma coisa, muitas vezes, um problema de matemática não é considerado completo se a resposta final não for reduzida à sua forma mais simples. Além disso, a resposta em sua forma mais simples é quase sempre a equação mais fácil de trabalhar. Por esse motivo, aprender a simplificar equações é uma habilidade importante para os matemáticos.

Etapa

Método 1 de 2: usando a sequência de operação

Etapa 1. Conheça a ordem das operações

Ao simplificar expressões matemáticas, você não pode simplesmente trabalhar da esquerda para a direita, multiplicando, somando, subtraindo e assim por diante, da esquerda para a direita. Algumas operações matemáticas devem ter precedência sobre outras e ser realizadas primeiro. Na verdade, usar a ordem errada de operações pode dar a resposta errada. A ordem das operações é: a parte entre parênteses, o expoente, a multiplicação, a divisão, a adição e, finalmente, a subtração. Um acrônimo que você pode usar para lembrar é Porque a mãe não é boa, má e pobre.

Observe que, embora um conhecimento básico da ordem das operações possa simplificar as equações mais básicas, técnicas especiais são necessárias para simplificar muitas equações de variáveis, incluindo quase todos os polinômios. Consulte o segundo método a seguir para obter mais informações

Etapa 2. Comece completando todas as seções entre parênteses

Em matemática, os parênteses indicam que a parte interna deve ser calculada separadamente da expressão que está fora dos parênteses. Não importa quais operações estejam entre parênteses, certifique-se de completar a parte dentro dos colchetes primeiro quando estiver tentando simplificar uma equação. Por exemplo, entre parênteses, você deve multiplicar antes de adicionar, subtrair e assim por diante.

• Por exemplo, vamos tentar simplificar a equação 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). Nesta equação, temos que resolver a parte dentro dos colchetes, ou seja, 5 + 2 e 3 + 4/2, primeiro. 5 + 2 =

  Etapa 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Etapa 5

  A parte do segundo colchete é simplificada para 5 porque, de acordo com a ordem das operações, dividimos 4/2 primeiro entre os colchetes. Se trabalharmos da esquerda para a direita, somamos 3 e 4 primeiro, depois dividimos por 2, dando a resposta errada 7/2

• Observação - se houver vários parênteses entre parênteses, complete a seção no colchete mais interno, depois no segundo mais interno e assim por diante.

Etapa 3. Resolva o expoente

Depois de completar os colchetes, a seguir, resolva o expoente de sua equação. Isso é fácil de lembrar porque nos expoentes, o número base e a potência da potência estão próximos um do outro. Encontre a resposta para cada parte do expoente e, a seguir, insira sua resposta na equação para substituir a parte do expoente.

Depois de completar a parte entre parênteses, nossa equação de exemplo agora se torna 2x + 4 (7) + 3² - 5. O único exponencial em nosso exemplo é 3², que é igual a 9. Adicione este resultado à sua equação para substituir 3² resultando em 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Etapa 4. Resolva o problema de multiplicação em sua equação

Em seguida, faça qualquer multiplicação necessária em sua equação. Lembre-se de que a multiplicação pode ser escrita de várias maneiras. O ponto ×, ou símbolo de asterisco, é uma forma de mostrar a multiplicação. No entanto, um número próximo aos parênteses ou uma variável (como 4 (x)) também representa uma multiplicação.

• Existem duas partes para a multiplicação em nosso problema: 2x (2x é 2 × x) e 4 (7). Não sabemos o valor de x, então apenas o deixamos em 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

  Etapa 28.. Podemos reescrever nossa equação para 2x + 28 + 9 - 5.

Etapa 5. Prossiga para a divisão

Quando estiver procurando por problemas de divisão em suas equações, lembre-se de que, como a multiplicação, a divisão pode ser escrita de várias maneiras. Um deles é o símbolo, mas lembre-se de que barras e travessões, como em frações (por exemplo, 3/4), também indicam divisão.

Porque já fizemos a divisão (4/2) quando terminamos as partes entre parênteses. Nosso exemplo ainda não tem um problema de divisão, portanto, pularemos esta etapa. Isso mostra um ponto importante - você não precisa realizar todas as operações ao simplificar uma expressão, apenas as operações contidas em seu problema

Etapa 6. Em seguida, adicione o que quer que esteja em sua equação

Você pode trabalhar da esquerda para a direita, mas é mais fácil somar os números fáceis de adicionar primeiro. Por exemplo, no problema 49 + 29 + 51 + 71, é mais fácil adicionar 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 e 100 + 100 = 200 do que 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 e 129 + 71 = 200.

Nossa equação de exemplo foi parcialmente simplificada para 2x + 28 + 9 - 5. Agora, temos que somar os números que podemos somar - vamos examinar cada problema de adição da esquerda para a direita. Não podemos adicionar 2x e 28 porque não sabemos o valor de x, então vamos simplesmente pular. 28 + 9 = 37, pode ser reescrito como 2x + 37 - 5.

Etapa 7. A última etapa da sequência de operações é a subtração

Continue seu problema resolvendo os problemas de subtração restantes. Você pode pensar em subtração como somar números negativos nesta etapa, ou usar as mesmas etapas para um problema de adição normal - sua escolha não afetará sua resposta.

• Em nosso problema, 2x + 37 - 5, há apenas um problema de subtração. 37 - 5 =

  Etapa 32.

Etapa 8. Verifique sua equação

Depois de resolver usando a ordem das operações, sua equação deve ser simplificada para sua forma mais simples. No entanto, se sua equação contém uma ou mais variáveis, entenda que suas variáveis não precisam ser trabalhadas. Para simplificar uma variável, você deve encontrar o valor de sua variável ou usar técnicas especiais para simplificar a expressão (consulte a etapa abaixo).

Nossa resposta final é 2x + 32. Não podemos resolver essa adição final a menos que saibamos o valor de x, mas se soubéssemos seu valor, essa equação seria muito mais fácil de resolver do que nossa longa equação original

Método 2 de 2: Simplificando Equações Complexas

Etapa 1. Some as partes que possuem a mesma variável

Ao resolver equações de variáveis, lembre-se de que as partes que têm a mesma variável e expoente (ou a mesma variável) podem ser adicionadas e subtraídas como números normais. Esta parte deve ter a mesma variável e expoente. Por exemplo, 7x e 5x podem ser adicionados, mas 7x e 5x² não pode ser adicionado.

• Esta regra também se aplica a algumas variáveis. Por exemplo, 2xy² pode ser somado por -3xy², mas não pode ser somado por -3x²y ou -3y².
• Veja a equação x² + 3x + 6 - 8x. Nesta equação, podemos adicionar 3x e -8x porque eles têm a mesma variável e expoente. A equação simples torna-se x² - 5x + 6.

Etapa 2. Simplifique os números fracionários dividindo ou riscando os fatores

As frações que possuem apenas números (e nenhuma variável) no numerador e denominador podem ser simplificadas de várias maneiras. O primeiro, e talvez o mais fácil, é pensar na fração como um problema de divisão e dividir o denominador pelo numerador. Além disso, qualquer fator de multiplicação que apareça no numerador e no denominador pode ser riscado porque a divisão dos dois fatores resulta no número 1.

Por exemplo, observe a fração 36/60. Se tivermos uma calculadora, podemos dividi-la para obter a resposta 0, 6. No entanto, se não tivermos uma calculadora, ainda podemos simplificá-la riscando os mesmos fatores. Outra forma de imaginar 36/60 é (6 × 6) / (6 × 10). Esta fração pode ser escrita como 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, então nossa fração é na verdade 1 × 6/10 = 6/10. No entanto, ainda não terminamos - ambos 6 e 10 têm o mesmo fator, que é 2. Repetindo o método acima, o resultado se torna 3/5.

Passo 3. Na fração variável, risque todos os fatores da variável

As equações de variáveis em forma de fração têm uma maneira única de simplificar. Como as frações comuns, as frações variáveis permitem que você elimine fatores que tanto o numerador quanto o denominador têm em comum. No entanto, em frações de variáveis, esses fatores podem ser números e equações da variável real.

• Digamos a equação (3x² + 3x) / (- 3x² + 15x). Essa fração pode ser escrita como (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x aparece no numerador e no denominador. Ao cruzar esses fatores fora da equação, o resultado se torna (x + 1) / (5 - x). O mesmo que na expressão (2x² + 4x + 6) / 2, uma vez que cada parte é divisível por 2, podemos escrever a equação como (2 (x² + 2x + 3)) / 2 e, em seguida, simplifique para x² + 2x + 3.
• Observe que você não pode riscar todas as seções - você só pode riscar os fatores de multiplicação que aparecem no numerador e denominador. Por exemplo, na expressão (x (x + 2)) / x, x pode ser riscado do numerador e do denominador, de modo que se torne (x + 2) / 1 = (x + 2). No entanto, (x + 2) / x não pode ser riscado para 2/1 = 2.

Etapa 4. Multiplique a parte entre parênteses pela constante

Ao multiplicar a parte que tem a variável entre parênteses por uma constante, às vezes multiplicar cada parte nos colchetes por uma constante pode resultar em uma equação mais simples. Isso se aplica a constantes que consistem apenas em números e constantes que têm variáveis.

• Por exemplo, equação 3 (x² + 8) pode ser simplificado para 3x² + 24, enquanto 3x (x² + 8) pode ser simplificado para 3x³ + 24x.
• Observe que, em alguns casos, como frações variáveis, as constantes entre parênteses podem ser riscadas para que não precisem ser multiplicadas pela parte entre parênteses. Em frações (3 (x² + 8)) / 3x, por exemplo, o fator 3 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos riscá-lo e simplificar a expressão para (x² + 8) / x. Esta expressão é mais simples e fácil de trabalhar do que (3x³ + 24x) / 3x, que é o resultado que obteremos se o multiplicarmos.

Etapa 5. Simplifique fatorando

A fatoração é uma técnica que pode ser usada para simplificar algumas expressões de variáveis, incluindo polinômios. Pense em fatorar como o oposto de multiplicar pela parte entre parênteses na etapa acima - às vezes, uma expressão pode ser considerada como duas partes sendo multiplicadas uma pela outra, em vez de uma expressão unitária. Isso é especialmente verdadeiro se a fatoração de uma equação permite riscar uma de suas partes (como nas frações). Em certos casos (geralmente com equações quadráticas), a fatoração pode até permitir que você encontre a solução para a equação.

• Vamos assumir novamente a expressão x² - 5x + 6. Esta expressão pode ser fatorada em (x - 3) (x - 2). Então, se x² - 5x + 6 é o numerador de uma dada equação onde o denominador tem um desses fatores, como na expressão (x² - 5x + 6) / (2 (x - 2)), podemos escrever na forma de fator para que possamos riscar o fator com o denominador. Em outras palavras, em (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)), a parte (x - 2) pode ser riscada para ser (x - 3) / 2.

• Como apontado acima, outro motivo pelo qual você pode querer fatorar suas equações é que a fatoração pode fornecer respostas para certas equações, especialmente se elas forem escritas como iguais a 0. Por exemplo, a equação x² - 5x + 6 = 0. Fatoração dá (x - 3) (x - 2) = 0. Como qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, sabemos que se qualquer parte dos parênteses for igual a zero, toda a equação à esquerda de o sinal de igual também é zero. De modo a

  Etapa 3. da

  Passo 2. são as duas respostas para a equação.