O determinante de matrizes é freqüentemente usado em cálculo, álgebra linear e geometria em um nível superior. Fora da academia, os engenheiros de computação gráfica e programadores usam matrizes e seus determinantes o tempo todo. Se você já sabe como determinar o determinante de uma matriz da ordem de 2x2, você só precisa aprender quando usar adição, subtração e tempos para determinar o determinante de uma matriz da ordem 3x3.
Etapa
Parte 1 de 2: Determinando os Determinantes
Escreva sua matriz de ordem 3 x 3. Começaremos com uma matriz A de ordem 3x3 e tentaremos encontrar o determinante | A |. Abaixo está a forma geral de notação de matriz que usaremos e um exemplo de nossa matriz:
| uma11 | uma12 | uma13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | uma21 | uma22 | uma23 | = | 2 | 4 | 7 |
| uma31 | uma32 | uma33 | 4 | 6 | 2 |
Etapa 1. Selecione uma linha ou coluna
Faça sua seleção a linha ou coluna de referência. Seja qual for a sua escolha, você ainda obterá a mesma resposta. Selecione temporariamente a primeira linha. Daremos algumas sugestões para escolher a opção mais fácil de calcular na próxima seção.
Selecione a primeira linha da matriz de amostra A. Circule o número 1 5 3. Na notação comum, circule um11 uma12 uma13.
Etapa 2. Risque a linha e a coluna de seu primeiro elemento
Olhe para a linha ou coluna que você circulou e selecione o primeiro elemento. Risque as linhas e colunas. Haverá apenas 4 números intocados. Faça desses 4 números uma matriz de ordem 2 x 2.
- Em nosso exemplo, nossa linha de referência é 1 5 3. O primeiro elemento está na 1ª linha e na 1ª coluna. Risque toda a 1ª linha e a 1ª coluna. Escreva os elementos restantes em uma matriz 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Etapa 3. Determine o determinante da matriz de ordem 2 x 2
Lembre-se, determine o determinante da matriz [umac bd] por ad - bc. Você também pode ter aprendido a determinar o determinante de uma matriz desenhando um X entre uma matriz 2 x 2. Multiplique os dois números conectados pela linha / de X. Em seguida, subtraia o número de vezes que os dois números conectados pela linha / estão. Use esta fórmula para calcular o determinante de uma matriz 2 x 2.
- No exemplo, o determinante da matriz [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Este determinante é chamado menor dos elementos que você selecionou na matriz inicial. Neste caso, acabamos de encontrar o menor de um11.
Etapa 4. Multiplique o número encontrado pelo elemento selecionado
Lembre-se de que você selecionou elementos da linha (ou coluna) de referência quando decidiu quais linhas e colunas riscar. Multiplique este elemento pelo determinante da matriz 2 x 2 que você encontrou.
No exemplo, escolhemos um11 que é 1. Multiplique este número por -34 (o determinante da matriz 2 x 2) para obter 1 * -34 = - 34.
Etapa 5. Determine o símbolo de sua resposta
O próximo passo é que você tem que multiplicar sua resposta por 1 ou -1 para obter cofator do elemento que você selecionou. O símbolo que você usa depende de onde os elementos estão na matriz 3 x 3. Lembre-se de que esta tabela de símbolos é usada para determinar o multiplicador do seu elemento:
- + - +
- - + -
- + - +
- Porque nós escolhemos um11 que está marcado com um +, multiplicaremos o número por +1 (ou em outras palavras, não o altere). A resposta que aparecerá será a mesma, ou seja, - 34.
- Outra forma de definir um símbolo é usar a fórmula (-1) i + j onde i e j são elementos de linha e coluna.
Etapa 6. Repita esse processo para o segundo elemento em sua linha ou coluna de referência
Retorne à matriz 3 x 3 original que você circulou na linha ou coluna anteriormente. Repita o mesmo processo com o elemento:
-
Risque a linha e a coluna do elemento.
Neste caso, selecione o elemento a12 (que vale 5). Risque a 1ª linha (1 5 3) e a 2ª coluna (5 4 6).
-
Transforme os elementos restantes em uma matriz 2x2.
Em nosso exemplo, a matriz de ordem 2x2 para o segundo elemento é [24 72].
-
Determine o determinante desta matriz 2x2.
Use a fórmula ad - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
-
Multiplique pelos elementos de sua matriz 3x3 escolhida.
-24 * 5 = -120
-
Decida se deseja multiplicar o resultado acima por -1 ou não.
Use uma tabela de símbolos ou fórmulas (-1)eu j. Selecione o elemento a12 simbolizado - na tabela de símbolos. Substitua o nosso símbolo de resposta por: (-1) * (- 120) = 120.
Etapa 7. Repita o mesmo processo para o terceiro elemento
Você tem mais um cofator para determinar o determinante. Conte i para o terceiro elemento em sua linha ou coluna de referência. Aqui está uma maneira rápida de calcular o cofator a13 em nosso exemplo:
- Risque a 1ª linha e a 3ª coluna para obter [24 46].
- O determinante é 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
- Multiplique pelo elemento a13: -4 * 3 = -12.
- Elemento a13 símbolo + na tabela de símbolos, então a resposta é - 12.
Etapa 8. Some os resultados de suas três contagens
Esta é a última etapa. Você calculou três cofatores, um para cada elemento em uma linha ou coluna. Some esses resultados e você encontrará o determinante de uma matriz 3 x 3.
No exemplo, o determinante da matriz é - 34 + 120 + - 12 = 74.
Parte 2 de 2: Facilitando a resolução de problemas
Etapa 1. Selecione a linha ou coluna de referências com mais 0s
Lembre-se de que você pode selecionar qualquer linha ou coluna que desejar. Seja qual for sua escolha, a resposta será a mesma. Se você selecionar uma linha ou coluna com o número 0, você só precisa calcular o cofator com elementos que não são 0 porque:
- Por exemplo, selecione a 2ª linha que tem o elemento a21, uma22, fundo23. Para resolver este problema, usaremos 3 matrizes 2 x 2 diferentes, digamos A21, UMA22, Você23.
- O determinante da matriz 3x3 é um21| A21| - uma22| A22| + a23| A23|.
- Se um22 fundo23 valor 0, a fórmula existente será um21| A21| - 0 * | A22| + 0 * | A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21| Portanto, calcularemos apenas o cofator de apenas um elemento.
Etapa 2. Use linhas extras para facilitar os problemas de matriz
Se você pegar os valores de uma linha e adicioná-los a outra linha, o determinante da matriz não mudará. O mesmo é verdadeiro para colunas. Você pode fazer isso repetidamente ou multiplicar por uma constante antes de adicioná-la para obter o máximo possível de zeros na matriz. Isso pode economizar muito tempo.
- Por exemplo, você tem uma matriz com 3 linhas: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Para eliminar o número 9 que está na posição a11, você pode multiplicar o valor na 2ª linha por -3 e adicionar o resultado à primeira linha. Agora, a nova primeira linha é [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- A nova matriz possui linhas [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Use o mesmo truque nas colunas para fazer um12 seja o número 0.
Etapa 3. Use o método rápido para matrizes triangulares
Neste caso especial, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, de um11 no canto superior esquerdo para um33 na parte inferior direita da matriz. Esta matriz ainda é uma matriz 3x3, mas a matriz "triângulo" tem um padrão especial de números que não são 0:
- Matriz triangular superior: Todos os elementos que não são 0 estão na diagonal principal ou acima dela. Todos os números abaixo da diagonal principal são 0.
- Matriz triangular inferior: todos os elementos que não são 0 estão na diagonal principal ou abaixo dela.
- Matriz diagonal: Todos os elementos que não são 0 estão na diagonal principal (o subconjunto dos tipos de matrizes acima).
Pontas
- Se todos os elementos em uma linha ou coluna forem 0, o determinante da matriz será 0.
- Este método pode ser usado para todos os tamanhos de matrizes quadráticas. Por exemplo, se você usar este método para uma matriz de ordem 4x4, seu "acerto" deixará uma matriz de ordem 3x3 cujo determinante pode ser determinado seguindo as etapas acima. Lembre-se de que fazer isso pode ser entediante!
