Duas frações são equivalentes se tiverem o mesmo valor. Saber como converter frações em suas formas equivalentes é uma habilidade matemática extremamente importante, necessária para todas as formas de matemática, da álgebra básica ao cálculo avançado. Este artigo fornecerá várias maneiras de calcular frações equivalentes, desde a multiplicação e divisão básicas até maneiras mais complexas de resolver equações fracionárias equivalentes.
Etapa
Método 1 de 5: Organizando Frações Equivalentes
Etapa 1. Multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo número
Duas frações diferentes, mas equivalentes, têm, por definição, um numerador e um denominador que são múltiplos um do outro. Em outras palavras, multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número produzirá frações equivalentes. Embora os números na nova fração sejam diferentes, as frações terão o mesmo valor.
- Por exemplo, se pegarmos a fração 4/8 e multiplicarmos o numerador e o denominador por 2, obtemos (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Essas duas frações são equivalentes.
- (4 × 2) / (8 × 2) é na verdade o mesmo que 4/8 × 2/2. Lembre-se de que ao multiplicar duas frações, estamos multiplicando diretamente, ou seja, o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador.
- Observe que 2/2 é igual a 1 se você fizer a divisão. Assim, é mais fácil entender por que 4/8 e 8/16 são equivalentes porque multiplicar 4/8 × (2/2) = permanece 4/8. Da mesma forma, é o mesmo que dizer 4/8 = 8/16.
- Qualquer fração dada tem um número infinito de frações equivalentes. Você pode multiplicar o numerador e o denominador por qualquer inteiro, independentemente do tamanho ou pequeno, para obter uma fração equivalente.
Etapa 2. Divida o numerador e o denominador pelo mesmo número
Como a multiplicação, a divisão também pode ser usada para encontrar uma nova fração equivalente à sua fração original. Basta dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número para obter a fração equivalente. Há uma desvantagem nesse processo - a fração final deve ter números inteiros tanto no numerador quanto no denominador para ser verdadeira.
Por exemplo, vamos olhar para trás em 4/8. Se, em vez de multiplicar, dividirmos o numerador e o denominador por 2, obtemos (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 e 4 são inteiros, portanto, essas frações equivalentes são verdadeiras
Método 2 de 5: usando a multiplicação básica para determinar a igualdade
Etapa 1. Encontre o número que deve ser multiplicado pelo denominador menor para obter o denominador maior
Muitos problemas sobre frações envolvem determinar se duas frações são equivalentes. Calculando esse número, você pode começar a igualar os termos fracionários para determinar a igualdade.
- Por exemplo, reutilize as frações 4/8 e 8/16. O denominador menor é 8 e temos que multiplicar o número por 2 para obter o denominador maior, que é 16. Portanto, o número neste caso é 2.
- Para números mais difíceis, você pode dividir o denominador maior pelo denominador menor. Nesse caso, 16 é dividido por 8, o que ainda resulta em 2.
- O número nem sempre é um inteiro. Por exemplo, se os denominadores forem 2 e 7, o número será 3, 5.
Etapa 2. Multiplique o numerador e o denominador da fração de menor termo pelo número da primeira etapa
Duas frações diferentes, mas equivalentes, têm, por definição, numerador e denominador, que são múltiplos um do outro. Em outras palavras, multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número produzirá uma fração equivalente. Embora os números nesta nova fração sejam diferentes, essas frações terão o mesmo valor.
Por exemplo, se usarmos a fração 4/8 da etapa um e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo número definido anteriormente, que é 2, obtemos (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Esse resultado prova que essas duas frações são equivalentes.
Método 3 de 5: Usando a divisão básica para determinar a igualdade
Etapa 1. Conte cada fração como um número decimal
Para frações simples sem variáveis, você pode representar cada fração como um número decimal para determinar a igualdade. Como cada fração é na verdade um problema de divisão, essa é a maneira mais simples de determinar a igualdade.
- Por exemplo, use a fração que usamos anteriormente, 4/8. A fração 4/8 é equivalente a dizer 4 dividido por 8, que é 4/8 = 0,5. Você também pode resolver o outro exemplo, que é 8/16 = 0,5. Independentemente dos termos em uma fração, a fração é equivalente se ambos os números forem iguais quando representados em decimal.
- Lembre-se de que as expressões decimais podem ter vários dígitos antes que a igualdade seja óbvia. Como exemplo básico, 1/3 = 0,333 se repete enquanto 3/10 = 0,3. Usando mais de um dígito, vemos que essas duas frações não são equivalentes.
Etapa 2. Divida o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número para obter uma fração equivalente
Para frações mais complexas, o método de divisão requer etapas adicionais. Já com a multiplicação, você pode dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número para obter uma fração equivalente. Existe uma desvantagem neste processo. A fração final deve ter números inteiros no numerador e no denominador para ser verdadeira.
Por exemplo, vamos olhar para trás em 4/8. Se, em vez de multiplicar, dividirmos o numerador e o denominador por 2, obtemos (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 e 4 são inteiros, portanto, essas frações equivalentes são verdadeiras.
Etapa 3. Simplifique as frações em seus termos mais simples
A maioria das frações é geralmente escrita em seus termos mais simples, e você pode convertê-las em sua forma mais simples, dividindo pelo maior fator comum (GCF). Essa etapa é feita na mesma lógica de escrever frações equivalentes, convertendo-as no mesmo denominador, mas esse método tenta simplificar cada fração para seus menores termos possíveis.
- Quando uma fração está em sua forma mais simples, o numerador e o denominador têm os menores valores possíveis. Ambos não podem ser divididos por nenhum inteiro para obter o valor menor. Para converter uma fração que não está em sua forma mais simples em sua forma equivalente mais simples, dividimos o numerador e o denominador por seu maior fator comum.
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O maior fator comum (GCF) do numerador e denominador é o maior número que os divide para fornecer um resultado inteiro. Então, em nosso exemplo 4/8, porque
Passo 4. é o maior número divisível por 4 e 8, dividiremos o numerador e o denominador da nossa fração por 4 para obter os termos mais simples. (4 4) / (8 4) = 1/2. Para nosso outro exemplo, 8/16, o GCF é 8, que também retorna o valor 1/2 como a expressão mais simples de uma fração.
Método 4 de 5: usando produtos cruzados para encontrar variáveis
Etapa 1. Organize as duas frações de modo que sejam iguais
Usamos a multiplicação cruzada para problemas matemáticos em que sabemos que as frações são equivalentes, mas um dos números foi substituído por uma variável (geralmente x) que temos que resolver. Em casos como esse, sabemos que essas frações são equivalentes porque são os únicos termos do outro lado do sinal de igual, mas muitas vezes a maneira de encontrar a variável não é óbvia. Felizmente, com a multiplicação cruzada, é fácil resolver esses tipos de problemas.
Etapa 2. Pegue duas frações equivalentes e multiplique-as por uma forma de "X"
Em outras palavras, você multiplica o numerador de uma fração pelo denominador de outra fração e vice-versa, em seguida, organiza as duas respostas para coincidir e resolver.
Veja nossos dois exemplos, 8/4 e 16/8. Nenhum dos dois tem variável, mas podemos provar o conceito porque já sabemos que são equivalentes. Pela multiplicação cruzada, obtemos 4/16 = 8 x 8 ou 64 = 64, o que é verdade. Se esses dois números não forem iguais, as frações não são equivalentes
Etapa 3. Adicionar variáveis
Como a multiplicação cruzada é a maneira mais fácil de determinar frações equivalentes quando você precisa encontrar variáveis, vamos adicionar variáveis.
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Por exemplo, vamos usar a equação 2 / x = 10/13. Para a multiplicação cruzada, multiplicamos 2 por 13 e 10 por x, em seguida, definimos nossas respostas iguais umas às outras:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. A partir daqui, encontrar a resposta para nossa variável é um problema simples de álgebra. x = 26/10 = 2, 6, tornando a fração equivalente inicial 2/2, 6 = 10/13.
Etapa 4. Use a multiplicação cruzada para frações de múltiplas variáveis ou expressões de variáveis
Uma das melhores coisas sobre a multiplicação cruzada é que ela realmente funciona da mesma maneira, quer você esteja trabalhando com duas frações simples (como acima) ou com frações mais complexas. Por exemplo, se ambas as frações têm variáveis, você só precisa eliminar essas variáveis no processo de resolução. Da mesma forma, se o numerador ou denominador de sua fração tiver uma expressão variável (como x + 1), apenas "multiplique" usando a propriedade distributiva e resolva como de costume.
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Por exemplo, vamos usar a equação ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Neste caso, como acima, vamos resolver por produto cruzado:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, então podemos simplificar a fração subtraindo 2x de ambos os lados
- 2 = 2x + 12, então isolamos a variável subtraindo 12 de ambos os lados
- -10 = 2x e divida por 2 para encontrar x
- - 5 = x
Método 5 de 5: usando fórmulas quadráticas para encontrar variáveis
Etapa 1. Cruze as duas frações
Para problemas de igualdade que requerem uma fórmula quadrática, ainda começamos usando produto vetorial. No entanto, qualquer produto vetorial que envolva a multiplicação dos termos de uma variável pelos termos de outra variável provavelmente resultará em uma expressão que não pode ser facilmente resolvida usando a álgebra. Em casos como esses, você pode precisar usar técnicas como fatoração e / ou fórmulas quadráticas.
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Por exemplo, vejamos a equação ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Primeiro, vamos fazer uma multiplicação cruzada:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Etapa 2. Escreva a equação como uma equação quadrática
Nesta seção, queremos escrever esta equação na forma quadrática (ax2 + bx + c = 0), o que fazemos definindo a equação igual a zero. Neste caso, subtraímos 12 de ambos os lados para obter 2x2 - 14 = 0.
Alguns valores podem ser iguais a 0. Mesmo que 2x2 - 14 = 0 é a forma mais simples da nossa equação, a equação quadrática real é 2x2 + 0x + (-14) = 0. Pode ser útil no início anotar a forma da equação quadrática, mesmo se alguns valores forem iguais a 0.
Etapa 3. Resolva inserindo os números de sua equação quadrática na fórmula quadrática
Fórmula quadrática (x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a) nos ajudará a encontrar nosso valor x nesta seção. Não tenha medo do comprimento da fórmula. Basta pegar os valores de sua equação quadrática na etapa dois e colocá-los nos lugares corretos antes de resolvê-los.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a. Em nossa equação, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 e c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112)) / 2 (2)
- x = (+/- (112)) / 2 (2)
- x = (+/- 10,58 / 4)
- x = +/- 2, 64
Etapa 4. Verifique sua resposta inserindo novamente o valor de x em sua equação quadrática
Ao inserir o valor calculado de x de volta em sua equação quadrática da etapa dois, você pode determinar facilmente se acertou a resposta. Neste exemplo, você conectará 2, 64 e -2, 64 na equação quadrática original.
Pontas
- Converter uma fração em seu equivalente é, na verdade, uma forma de multiplicar uma fração por 1. Ao converter 1/2 em 2/4, multiplicar o numerador e o denominador por 2 é o mesmo que multiplicar 1/2 por 2/2, que é igual a 1.
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Se desejar, converta o número misto em uma fração comum para tornar a conversão mais fácil. Claro, nem todas as frações que você encontrar serão tão fáceis quanto converter nosso exemplo 4/8 acima. Por exemplo, números mistos (como 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) podem tornar o processo de conversão um pouco mais complicado. Se você tiver que converter um número misto em uma fração comum, poderá fazer isso de duas maneiras: convertendo o número misto em uma fração comum e, em seguida, convertendo-o normalmente, ou mantendo a forma de números mistos e obtendo respostas na forma de números mistos.
- Para converter em uma fração comum, multiplique o componente inteiro do número misto pelo denominador do componente fracionário e adicione ao numerador. Por exemplo, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Então, se desejar, você pode alterá-lo conforme necessário. Por exemplo, 5/3 × 2/2 = 10/6, que permanece igual a 1 2/3.
- No entanto, não precisamos convertê-lo em uma fração comum, conforme descrito acima. Caso contrário, deixamos o componente inteiro sozinho, alteramos apenas o componente fracionário e adicionamos o componente inteiro inalterado. Por exemplo, para 3 4/16, vemos apenas 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Então, adicionando nossos componentes inteiros de volta, obtemos um novo número misto, 3 1/4.
Aviso
- Multiplicação e divisão podem ser usadas para obter frações equivalentes porque a multiplicação e divisão com a forma fracionária do número 1 (2/2, 3/3, etc.) dá uma resposta que é equivalente à fração original, por definição. Adição e subtração não podem ser usadas.
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Mesmo que você multiplique os numeradores e denominadores ao multiplicar as frações, você não adiciona ou subtrai os denominadores ao adicionar ou subtrair as frações.
Por exemplo, acima, sabemos que 4/8 4/4 = 1/2. Se somarmos 4/4, obteremos uma resposta completamente diferente. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 ou 3/2, eles não são iguais a 4/8.
