Os derivados podem ser usados para derivar características úteis de um gráfico, como valores máximo, mínimo, pico, vale e inclinação. Você pode até usá-lo para representar graficamente equações complexas sem uma calculadora gráfica! Infelizmente, trabalhar com derivados costuma ser entediante, mas este artigo o ajudará com algumas dicas e truques.
Etapa
Etapa 1. Compreender a notação derivada
As duas notações a seguir são as mais comumente usadas, embora muitas outras possam ser encontradas aqui na Wikipedia.
- Notação de Leibniz Esta notação é a notação mais comumente usada quando a equação envolve ye x. dy / dx significa literalmente a derivada de y em relação a x. Pode ser útil pensar nisso como y / Δx para valores muito diferentes de x e y. Esta explicação leva à definição do limite da derivada: limh-> 0 (f (x + h) -f (x)) / h. Ao usar esta notação para a segunda derivada, você deve escrever: d2y / dx2.
- Notação de Lagrange A derivada da função f também é escrita como f '(x). Essa notação lê f x acentuado. Essa notação é mais curta do que a notação de Leibniz e é útil ao ver as derivadas como funções. Para formar um grau maior de derivada, basta adicionar 'af, então a segunda derivada será f' '(x).
Etapa 2. Compreenda o significado da derivada e as razões da descida
Primeiro, para encontrar a inclinação de um gráfico linear, dois pontos da linha são tomados e suas coordenadas são inseridas na equação (y2 - y1) / (x2 - x1) No entanto, ele só pode ser usado para gráficos lineares. Para equações quadráticas e superiores, a linha será uma curva, portanto, encontrar a diferença entre dois pontos não é muito preciso. Para encontrar a inclinação da tangente em um gráfico de curva, dois pontos são tomados e colocados na equação geral para encontrar a inclinação do gráfico de curva: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx denota delta x, que é a diferença entre duas coordenadas x em dois pontos do gráfico. Observe que esta equação é igual a (y2 - y1) / (x2 - x1), apenas em uma forma diferente. Como se sabia que os resultados seriam imprecisos, foi aplicada uma abordagem indireta. Para encontrar a inclinação da tangente em (x, f (x)), dx deve ser próximo a 0, de modo que os dois pontos desenhados se fundam em um ponto. No entanto, você não pode dividir 0, então, depois de inserir os valores de dois pontos, você terá que usar fatoração e outros métodos para remover dx da parte inferior da equação. Depois de fazer isso, faça dx 0 e pronto. Esta é a inclinação da tangente em (x, f (x)). A derivada de uma equação é a equação geral para encontrar a inclinação de qualquer tangente em um gráfico. Isso pode parecer muito complicado, mas existem alguns exemplos abaixo, que ajudarão a explicar como obter a derivada.
Método 1 de 4: derivados explícitos
Etapa 1. Use uma derivada explícita se sua equação já tiver y em um lado
Etapa 2. Insira a equação na equação [f (x + dx) - f (x)] / dx
Por exemplo, se a equação for y = x2, a derivada será [(x + dx)2 - x2] / dx.
Etapa 3. Expanda e remova dx para formar a equação [dx (2x + dx)] / dx
Agora, você pode lançar dois dx na parte superior e na parte inferior. O resultado é 2x + dx, e conforme dx se aproxima de zero, a derivada é 2x. Isso significa que a inclinação de qualquer tangente do gráfico y = x2 é 2x. Basta inserir o valor x para o ponto para o qual deseja encontrar a inclinação.
Etapa 4. Aprenda padrões para derivar equações semelhantes
Aqui estão alguns exemplos.
- Qualquer expoente é a potência vezes o valor, elevado à potência menor que 1. Por exemplo, a derivada de x5 é 5x4, e a derivada de x3, 5 iis3, 5x2, 5. Se já houver um número na frente de x, basta multiplicá-lo pela potência. Por exemplo, a derivada de 3x4 é 12x3.
- A derivada de qualquer constante é zero. Portanto, a derivada de 8 é 0.
- A derivada da soma é a soma das respectivas derivadas. Por exemplo, a derivada de x3 + 3x2 é 3x2 + 6x.
- A derivada do produto é o primeiro fator vezes a derivada do segundo fator mais o segundo fator vezes a derivada do primeiro fator. Por exemplo, a derivada de x3(2x + 1) é x3(2) + (2x + 1) 3x2, que é igual a 8x3 + 3x2.
- A derivada do quociente (digamos, f / g) é [g (derivada de f) - f (derivada de g)] / g2. Por exemplo, a derivada de (x2 + 2x - 21) / (x - 3) é (x2 - 6x + 15) / (x - 3)2.
Método 2 de 4: derivados implícitos
Etapa 1. Use derivadas implícitas se sua equação ainda não puder ser escrita com y em um lado
Na verdade, se você escrevesse y em um lado, calcular dy / dx seria tedioso. Aqui está um exemplo de como você pode resolver esse tipo de equação.
Etapa 2. Neste exemplo, x2y + 2y3 = 3x + 2y, substitua y por f (x), então você se lembrará de que y é na verdade uma função.
A equação então se torna x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Etapa 3. Para encontrar a derivada desta equação, deduza ambos os lados da equação em relação a x
A equação então se torna x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Etapa 4. Substitua f (x) por y novamente
Tenha cuidado para não substituir f '(x), que é diferente de f (x).
Etapa 5. Encontre f '(x)
A resposta para este exemplo é (3 - 2xy) / (x2 + 6y2 - 2).
Método 3 de 4: derivados de ordem superior
Etapa 1. Derivar uma função de ordem superior significa que você está derivando a derivada (para a ordem 2)
Por exemplo, se o problema pede para você derivar de terceira ordem, então apenas tire a derivada da derivada da derivada. Para algumas equações, a derivada de ordem superior será 0.
Método 4 de 4: regra da cadeia
Etapa 1. Se y é uma função diferencial de z, e z é uma função diferencial de x, y é uma função composta de x, e a derivada de y em relação a x (dy / dx) é (dy / du) * (du / dx)
A regra da cadeia também pode ser uma combinação de equações de potência, como esta: (2x4 - x)3. Para encontrar a derivada, basta pensar nela como a regra de multiplicação. Multiplique a equação pela potência e diminua por 1 elevado à potência. Em seguida, multiplique a equação pela derivada da equação entre parênteses que aumenta a potência (neste caso, 2x ^ 4 - x). A resposta a esta pergunta é 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Pontas
- Sempre que você vir um problema difícil de resolver, não se preocupe. Apenas tente dividi-lo em tantas partes menores quanto possível, aplicando as regras de multiplicação, quociente, etc. Em seguida, abaixe cada parte.
- Pratique com a regra de multiplicação, a regra do quociente, a regra da cadeia e, especialmente, as derivadas implícitas, porque essas regras são muito mais difíceis no cálculo.
- Compreenda bem a sua calculadora; experimente as diferentes funções da calculadora para aprender a usá-las. É muito útil saber como usar tangentes e funções derivadas em sua calculadora, se estiverem disponíveis.
- Lembre-se dos derivados trigonométricos básicos e de como usá-los.
