Como derivar funções implícitas: 7 etapas (com imagens)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificação: 2024-01-19 22:13

No cálculo, quando você tem uma equação para y escrita na forma x (por exemplo, y = x² -3x), é fácil usar técnicas de derivação básicas (chamadas pelos matemáticos de técnicas de derivadas de função implícita) para encontrar a derivada. No entanto, para equações que são difíceis de construir com apenas o termo y em um lado do sinal de igual (por exemplo, x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), uma abordagem diferente é necessária. Com uma técnica chamada derivadas de função implícitas, é fácil encontrar derivadas de equações multivariável, desde que você conheça os fundamentos das derivadas de função explícitas!

Etapa

Método 1 de 2: derivando equações simples rapidamente

Etapa 1. Derive os termos x como de costume

Ao tentar derivar uma equação multivariável como x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, pode ser difícil saber por onde começar. Felizmente, a primeira etapa da derivada de uma função implícita é a mais fácil. Para começar, apenas derive os termos xe as constantes em ambos os lados da equação de acordo com as regras das derivadas ordinárias (explícitas). Ignore os termos y por enquanto.

• Vamos tentar derivar um exemplo da equação simples acima. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 tem dois termos x: x² e -5x. Se quisermos derivar uma equação, temos que fazer isso primeiro, assim:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Reduza à potência de 2 em x² como coeficiente, remova x em -5x e altere 19 para 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Etapa 2. Derive os termos y e adicione (dy / dx) ao lado de cada termo

Para a próxima etapa, apenas derive os termos y da mesma maneira que você derivou os termos x. Desta vez, entretanto, adicione (dy / dx) próximo a cada termo da mesma forma que adicionaria coeficientes. Por exemplo, se você diminuir y², então a derivada se torna 2y (dy / dx). Ignore os termos que possuem xey por enquanto.

• Em nosso exemplo, nossa equação agora se parece com isto: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Vamos realizar a próxima etapa de derivar y da seguinte forma:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Reduzir à potência de 2 em y² como coeficientes, remova y em 8y e coloque dy / dx ao lado de cada termo).

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy²= 0

Etapa 3. Use a regra do produto ou a regra do quociente para os termos que possuem x e y

Trabalhar com termos que possuem xey é um pouco complicado, mas se você conhece as regras para o produto e o quociente para derivados, achará mais fácil. Se os termos x e y forem multiplicados, use a regra do produto ((f × g) '= f' × g + g × f '), substituindo o termo x por f e o termo y por g. Por outro lado, se os termos x e y são mutuamente exclusivos, use a regra de quociente ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g²), substituindo o numerador por f e o denominador por g.

• Em nosso exemplo, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, temos apenas um termo que tem x e y - 2xy². Como x e y são multiplicados um pelo outro, usaremos a regra do produto para derivar da seguinte forma:

  2xy² = (2x) (y²) - definir 2x = f e y² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy / dx))

  (f × g) '= 2a² + 4xy (dy / dx)

• Adicionando isso à nossa equação principal, obtemos 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Etapa 4. Sozinho (dy / dx)

Você está quase pronto! Agora, tudo que você precisa fazer é resolver a equação (dy / dx). Isso parece difícil, mas geralmente não é - lembre-se de que quaisquer dois termos aeb são multiplicados por (dy / dx) podem ser escritos como (a + b) (dy / dx) por causa da propriedade distributiva da multiplicação. Essa tática pode tornar o isolamento (dy / dx) mais fácil - basta mover todos os outros termos do outro lado dos parênteses e, em seguida, dividir pelos termos entre parênteses ao lado de (dy / dx).

• Em nosso exemplo, simplificamos 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 da seguinte forma:

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2x + y + 4)

Método 2 de 2: usando técnicas avançadas

Etapa 1. Insira o valor (x, y) para encontrar (dy / dx) para qualquer ponto

Seguro! Você já derivou sua equação implicitamente - não é uma tarefa fácil na primeira tentativa! Usar esta equação para encontrar o gradiente (dy / dx) para qualquer ponto (x, y) é tão fácil quanto inserir os valores xey de seu ponto no lado direito da equação e, em seguida, encontrar (dy / dx).

• Por exemplo, suponha que queremos encontrar o gradiente no ponto (3, -4) para nossa equação de exemplo acima. Para fazer isso, vamos substituir 3 por x e -4 por y, resolvendo da seguinte forma:

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2x + y + 4)

  (dy / dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

  (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, ou 0, 6875.

Etapa 2. Use a regra da cadeia para funções dentro de funções

A regra da cadeia é um conhecimento importante para se ter ao trabalhar em problemas de cálculo (incluindo problemas de derivada de função implícita). A regra da cadeia afirma que para uma função F (x) que pode ser escrita como (f o g) (x), a derivada de F (x) é igual a f '(g (x)) g' (x). Para problemas difíceis de derivadas de função implícita, isso significa que é possível derivar as diferentes partes individuais da equação e, em seguida, combinar os resultados.

• Como um exemplo simples, suponha que temos que encontrar a derivada de sin (3x² + x) como parte do maior problema de derivada de função implícita para a equação sin (3x² + x) + y³ = 0. Se imaginarmos o pecado (3x² + x) como f (x) e 3x² + x como g (x), podemos encontrar a derivada da seguinte forma:

  f '(g (x)) g' (x)

  (sin (3x² + x)) '× (3x² + x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² + x)

Etapa 3. Para equações com as variáveis x, y e z, encontre (dz / dx) e (dz / dy)

Embora incomum no cálculo básico, alguns aplicativos avançados podem exigir a derivação de funções implícitas de mais de duas variáveis. Para cada variável adicional, você deve encontrar sua derivada adicional em relação a x. Por exemplo, se você tiver x, y e z, deve procurar por (dz / dy) e (dz / dx). Podemos fazer isso derivando a equação com respeito ax duas vezes - primeiro, inseriremos (dz / dx) toda vez que derivarmos um termo contendo ze, segundo, inseriremos (dz / dy) toda vez que derivarmos z. Depois disso, é só resolver (dz / dx) e (dz / dy).

• Por exemplo, digamos que estamos tentando derivar x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Primeiro, vamos derivar contra x e inserir (dz / dx). Não se esqueça de aplicar a regra do produto, se necessário!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5a⁵z

  (dz / dx) = (2x - 3x²z² + 5a⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)

• Agora, faça o mesmo para (dz / dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz / dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)