Todos os triângulos retângulos têm um ângulo reto (90 graus) e a hipotenusa é o lado oposto a esse ângulo. A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo e também é muito fácil encontrá-la de algumas maneiras diferentes. Este artigo lhe ensinará como encontrar o comprimento da hipotenusa usando o teorema de Pitágoras, se você souber o comprimento dos outros dois lados do triângulo. A seguir, este artigo ensinará como identificar a hipotenusa de alguns triângulos retângulos especiais que aparecem com frequência em exames. Finalmente, este artigo irá ensiná-lo a encontrar o comprimento da hipotenusa usando a Lei do Seno, se você souber apenas o comprimento de um lado e a medida de um ângulo diferente do ângulo reto.
Etapa
Método 1 de 3: Usando o Teorema de Pitágoras
Etapa 1. Aprenda o Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras descreve a relação entre os lados de um triângulo retângulo. Este teorema afirma que para qualquer triângulo retângulo com lados ao longo de aeb, e uma hipotenusa ao longo de c, uma2 + b2 = c2.
Etapa 2. Certifique-se de que seu triângulo seja um triângulo retângulo
O teorema de Pitágoras se aplica apenas a triângulos retângulos e, por definição, apenas triângulos retângulos têm uma hipotenusa. Se o seu triângulo tiver um ângulo de exatamente 90 graus, é um triângulo retângulo e você pode seguir em frente.
Os ângulos retos são freqüentemente indicados em livros didáticos e exames por um pequeno quadrado no canto do canto. Este sinal particular significa "90 graus"
Etapa 3. Atribua as variáveis a, b e c aos lados do triângulo
A variável "c" sempre será atribuída à hipotenusa, ou lado mais longo. Escolha um dos outros lados como "a" e chame o outro lado de "b" (não importa qual lado é a ou b; o cálculo permanecerá o mesmo). Em seguida, conecte os comprimentos de aeb na fórmula, de acordo com o seguinte exemplo:
Se o seu triângulo tem lados de comprimentos 3 e 4, e você atribuiu as letras aos lados de modo que a = 3 e b = 4, você escreveria sua equação como: 32 + 42 = c2.
Etapa 4. Encontre o quadrado de a e b
Para encontrar o quadrado de um número, basta multiplicar o número por ele mesmo, de modo que uma2 = a x a. Encontre os quadrados de aeb e insira-os em sua fórmula.
- Se a = 3, a2 = 3 x 3 ou 9. Se b = 4, b2 = 4 x 4 ou 16.
- Quando você insere esses valores em sua equação, sua equação agora deve ter a seguinte aparência: 9 + 16 = c2.
Etapa 5. Some os valores de um2 e b2.
Insira a soma em sua equação e isso lhe dará o valor de c2. Falta apenas um passo e você resolverá a hipotenusa!
Em nosso exemplo, 9 + 16 = 25, então você escreveria 25 = c2.
Etapa 6. Encontre a raiz quadrada de c2.
Use a função de raiz quadrada em sua calculadora (ou memória ou sua tabuada) para encontrar a raiz quadrada de c2. A resposta é o comprimento de sua hipotenusa!
Em nosso exemplo, c2 = 25. A raiz quadrada de 25 é 5 (5 x 5 = 25, tão Raiz (25) = 5) Isso significa, c = 5, o comprimento de nossa hipotenusa!
Método 2 de 3: Encontrando a hipotenusa de um triângulo retângulo especial
Etapa 1. Aprenda a reconhecer triângulos com o Triplo Pitagórico
Os comprimentos laterais do triplo pitagórico são inteiros de acordo com o teorema de Pitágoras. Esses triângulos especiais costumam aparecer em livros didáticos de geometria e exames padronizados, como a ONU. Se você se lembrar especialmente dos primeiros 2 triplos pitagóricos, poderá economizar muito tempo nesses testes porque descobrirá rapidamente a hipotenusa de um desses triângulos apenas olhando para os comprimentos laterais!
- O primeiro triplo pitagórico foi 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Quando você vir um triângulo retângulo com pernas de comprimentos 3 e 4, você imediatamente acreditará que sua hipotenusa é 5, sem ter que fazer nenhum cálculo.
-
A razão tripla pitagórica é verdadeira mesmo se os lados forem multiplicados por outro número. Por exemplo, um triângulo retângulo com o comprimento da perna
Etapa 6. da
Etapa 8. terá uma hipotenusa
Etapa 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). O mesmo vale para 9-12-15, e até mesmo 1, 5-2-2, 5. Experimente os cálculos e veja por si mesmo!
- O segundo triplo pitagórico que aparece com frequência nos exames é 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Também preste atenção aos múltiplos, como 10-24-26 e 2, 5-6-6, 5.
Etapa 2. Lembre-se da proporção dos lados de um triângulo retângulo 45-45-90
Um triângulo retângulo 45-45-90 tem ângulos de 45, 45 e 90 graus e também é chamado de triângulo retângulo isósceles. Esse triângulo aparece com frequência em exames padronizados e é um triângulo muito fácil de resolver. A proporção dos lados deste triângulo é 1: 1: Root (2), o que significa que os comprimentos das pernas são iguais e o comprimento da hipotenusa é simplesmente o comprimento das pernas vezes a raiz quadrada de dois.
- Para calcular a hipotenusa desse triângulo com base no comprimento de uma de suas pernas, basta multiplicar o comprimento da perna por Sqrt (2).
- Saber essas comparações é útil, especialmente quando as questões do exame ou da lição de casa fornecem os comprimentos laterais como variáveis em vez de inteiros.
Etapa 3. Estude as relações laterais de um triângulo retângulo 30-60-90
Esses triângulos têm medidas de ângulos de 30, 60 e 90 graus e ocorrem quando você corta um triângulo equilátero ao meio. Os lados de um triângulo retângulo 30-60-90 sempre têm a proporção 1: Root (3): 2, ou x: Raiz (3) x: 2x. Se você tivesse o comprimento de uma perna de um triângulo retângulo 30-60-90 e fosse solicitado a encontrar a hipotenusa, esse problema seria muito fácil de resolver:
-
Se você receber o comprimento da perna mais curta (oposta em um ângulo de 30 graus), simplesmente multiplique o comprimento da perna por 2 para encontrar o comprimento da hipotenusa. Por exemplo, se o comprimento da perna mais curta é
Passo 4., você sabe que o comprimento da hipotenusa deve ser
Etapa 8..
-
Se você receber o comprimento da perna mais longa (oposto a um ângulo de 60 graus), multiplique esse comprimento por 2 / Root (3) para encontrar o comprimento da hipotenusa. Por exemplo, se o comprimento da perna mais longa for
Passo 4., você sabe que o comprimento da hipotenusa definida é 4, 62.
Método 3 de 3: Encontrando a hipotenusa usando a lei do seno
Etapa 1. Entenda o significado de "Seno"
Os termos "seno", "cosseno" e "tangente" referem-se às várias relações entre os ângulos e / ou lados de um triângulo retângulo. Em um triângulo retângulo, seno um ângulo é definido como o comprimento do lado oposto ao ângulo dividido por hipotenusa triangular. A abreviatura de seno em equações e calculadoras é pecado.
Etapa 2. Aprenda a calcular o seno
Mesmo calculadoras científicas básicas têm uma função seno. Procure o botão que diz pecado. Para encontrar o seno de um ângulo, você geralmente pressiona a tecla pecado e, em seguida, insira a medição do ângulo em graus. No entanto, em algumas calculadoras, você deve primeiro inserir a medição do ângulo e, em seguida, pressionar o botão pecado. Você terá que experimentar com sua calculadora ou verificar o manual para descobrir qual método usar.
- Para encontrar o seno de um ângulo de 80 graus, você deve inserir pecado 80 seguido por um sinal de igual ou Enter, ou 80 pecado. (A resposta é -0, 9939.)
- Você também pode digitar "calculadora de seno" em uma pesquisa na web e procurar calculadoras fáceis de usar, que eliminarão qualquer suposição.
Etapa 3. Aprenda a Lei do Seno
A lei dos senos é uma ferramenta útil para resolver triângulos. Em particular, esta lei pode ajudá-lo a encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo se você souber o comprimento de um lado e a medida de um ângulo diferente daquele ângulo reto. Para qualquer triângulo com lados uma, b, e ce ângulos UMA, B, e C, a Lei do Seno afirma que a / sin A = b / sin B = c / sin C.
A lei dos senos pode realmente ser usada para resolver qualquer triângulo, mas apenas os triângulos retângulos têm uma hipotenusa
Etapa 4. Atribua as variáveis a, b e c aos lados do triângulo
A hipotenusa (lado mais longo) deve ser "c". Por conveniência, identifique "a" para o lado de comprimento conhecido e identifique "b" para o outro lado. O ângulo reto oposto à hipotenusa é "C". O ângulo oposto ao lado "a" é o ângulo "A" e o ângulo oposto ao lado "b" é "B".
Etapa 5. Calcule a medição do terceiro ângulo
Por ser um ângulo reto, já sabemos que C = 90 graus, e você também conhece as medidas UMA ou B. Como a medida do grau interno de um triângulo sempre é igual a 180 graus, você pode calcular facilmente a medida dos ângulos de todos os três usando a fórmula: 180 - (90 + A) = B. Você também pode inverter a equação para 180 - (90 + B) = A.
Por exemplo, se você sabe que A = 40 graus, B = 180 - (90 + 40). Simplifique isso para B = 180 - 130, e você pode determinar rapidamente que B = 50 graus.
Etapa 6. Verifique seu triângulo
Nesta etapa, você já conhece as medidas dos três ângulos e o comprimento do lado a. Agora é hora de inserir essas informações nas equações da Lei do Seno para determinar os comprimentos dos outros dois lados.
Para continuar nosso exemplo, digamos que o comprimento do lado a = 10. Ângulo C = 90 graus, ângulo A = 40 graus e ângulo B = 50 graus
Etapa 7. Aplique a Lei do Seno ao triângulo
Precisamos apenas inserir nossos números e resolver a seguinte equação para encontrar o comprimento da hipotenusa c: comprimento lateral a / sen A = comprimento lateral c / sen C. Esta equação pode parecer um pouco assustadora, mas o seno de 90 graus é sempre o mesmo e sempre é igual a 1! Assim, nossa equação pode ser simplificada para: a / sin A = c / 1, ou apenas a / sin A = c.
Etapa 8. Divida o comprimento do lado a com o seno do ângulo A para encontrar o comprimento da hipotenusa!
Você pode encontrá-lo em duas etapas separadas, primeiro calculando o pecado A e anotando o resultado e, em seguida, dividindo por a. Ou você pode inserir tudo na calculadora ao mesmo tempo. Se você estiver usando uma calculadora, lembre-se de colocar os parênteses após o sinal de divisão. Por exemplo, digite 10 / (pecado 40) ou 10 / (40 pecado), dependendo da sua calculadora.
