A velocidade é definida como a velocidade de um objeto em uma determinada direção. Em muitas situações, para encontrar a velocidade, podemos usar a equação v = s / t, onde v é igual à velocidade, s é igual à distância total que o objeto se moveu de sua posição inicial e t é igual ao tempo. No entanto, este método fornece apenas o valor da velocidade "média" do objeto sobre seu deslocamento. Usando o cálculo, você pode calcular a velocidade de um objeto em qualquer ponto ao longo de seu deslocamento. Este valor é chamado de "velocidade instantânea" e pode ser calculado pela equação v = (ds) / (dt), ou, em outras palavras, é a derivada da equação para a velocidade média do objeto.
Etapa
Método 1 de 3: Calculando a velocidade instantânea
Etapa 1. Comece com a equação para a velocidade de deslocamento do objeto
Para obter o valor da velocidade instantânea de um objeto, devemos primeiro ter uma equação que descreva sua posição (em termos de seu deslocamento) em um determinado ponto no tempo. Isso significa que a equação deve ter uma variável s (que fica sozinho) de um lado, e t por outro lado (mas não necessariamente autônomo), assim:
s = -1,5t2+ 10t + 4
-
Na equação, as variáveis são:
-
-
Deslocamento = s. Essa é a distância percorrida pelo objeto desde seu ponto de partida. Por exemplo, se um objeto viaja 10 metros para a frente e 7 metros para trás, a distância total percorrida é 10 - 7 = 3 metros (não 10 + 7 = 17 metros).
-
Tempo = t. Esta variável é autoexplicativa. Geralmente expresso em segundos. # Faça a derivada da equação. A derivada de uma equação é outra equação que pode fornecer o valor da inclinação a partir de um certo ponto. Para encontrar a derivada da fórmula para o deslocamento de um objeto, derivar a função usando a seguinte regra geral: Se y = a * x , Derivada = a * n * xn-1. Esta regra se aplica a qualquer componente que esteja no lado "t" da equação.
Calcular a velocidade instantânea, etapa 2
-
-
- Em outras palavras, comece descendo o lado "t" da equação da esquerda para a direita. Cada vez que você atingir o valor "t", subtraia 1 do valor do expoente e multiplique o todo pelo expoente original. Quaisquer constantes (variáveis que não contêm "t") serão perdidas porque são multiplicadas por 0. Este processo não é tão difícil quanto se possa pensar, vamos derivar a equação na etapa acima como um exemplo:
s = -1,5t2+ 10t + 4
(2) -1,5t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Etapa 2. Substitua a variável "s" por "ds / dt
"Para mostrar que sua nova equação é a derivada da equação anterior, substitua" s "por" ds / dt ". Tecnicamente, essa notação significa" derivada de s em relação a t ". Uma maneira mais simples de entender isso é que ds / dt é o valor da inclinação (inclinação) em qualquer ponto da primeira equação, por exemplo, para determinar a inclinação de uma linha desenhada a partir da equação s = -1,5t2 + 10t + 4 em t = 5, podemos inserir o valor "5" na equação derivada.
- No exemplo usado, a primeira equação derivada teria agora a seguinte aparência:
ds / s = -3t + 10
Etapa 3. Insira o valor de t na nova equação para obter o valor da velocidade instantânea
Agora que você tem a equação derivada, é fácil encontrar a velocidade instantânea em qualquer ponto. Tudo o que você precisa fazer é escolher um valor para t e inseri-lo em sua equação derivada. Por exemplo, se você deseja encontrar a velocidade instantânea em t = 5, pode substituir o valor de t por "5" na equação derivada ds / dt = -3 + 10. Em seguida, resolva a equação assim:
ds / s = -3t + 10
ds / s = -3 (5) + 10
ds / s = -15 + 10 = - 5 metros / segundo
Observe que a unidade usada acima é "metro / segundo". Como o que calculamos é o deslocamento em metros e o tempo em segundos (segundos) e a velocidade em geral é o deslocamento em um determinado tempo, essa unidade é adequada para uso
Método 2 de 3: estimando graficamente a velocidade instantânea
Etapa 1. Desenhe um gráfico do deslocamento do objeto ao longo do tempo
Na seção acima, a derivada é mencionada como a fórmula para encontrar a inclinação em um determinado ponto para a equação que você está derivando. Na verdade, se você representar o deslocamento de um objeto como uma linha em um gráfico, "a inclinação da linha em todos os pontos é igual ao valor de sua velocidade instantânea naquele ponto".
- Para descrever o deslocamento de um objeto, use x para representar o tempo ey para representar o deslocamento. Em seguida, desenhe os pontos, inserindo o valor de t em sua equação, obtendo assim o valor de s para seu gráfico, marque t, s no gráfico como (x, y).
- Observe que seu gráfico pode se estender abaixo do eixo x. Se a linha que representa o movimento do seu objeto alcança abaixo do eixo x, significa que o objeto se moveu para trás de sua posição inicial. Em geral, seu gráfico não alcançará a parte de trás do eixo y - porque não estamos medindo a velocidade de um objeto em movimento!
Etapa 2. Selecione um ponto adjacente P e Q na linha
Para obter a inclinação da reta em um ponto P, podemos usar um truque chamado "calcular o limite". Tomar o limite envolve dois pontos (P e Q, um ponto próximo) na linha curva e encontrar a inclinação da linha conectando-os várias vezes até que as distâncias P e Q se aproximem.
Digamos que a linha de deslocamento do objeto contenha os valores (1, 3) e (4, 7). Neste caso, se quisermos encontrar a inclinação no ponto (1, 3), podemos determinar (1, 3) = P e (4, 7) = Q.
Etapa 3. Encontre a inclinação entre P e Q
A inclinação entre P e Q é a diferença nos valores de y para P e Q ao longo da diferença de valor do eixo x para P e Q. Em outras palavras, H = (yQ - yP) / (xQ - xP), onde H é a inclinação entre os dois pontos. Em nosso exemplo, o valor da inclinação entre P e Q é
H = (yQ- yP) / (xQ- xP)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
Etapa 4. Repita várias vezes, movendo Q para mais perto de P
Seu objetivo é reduzir a distância entre P e Q para se parecer com um ponto. Quanto mais próxima for a distância entre P e Q, mais próxima será a inclinação da linha no ponto P. Faça isso várias vezes com a equação usada como exemplo, usando os pontos (2, 4,8), (1,5, 3,95) e (1,25, 3,49) como Q e o ponto de partida (1, 3) como P:
Q = (2, 4,8):
H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (0,49) / (0,25) = 1.96
Etapa 5. Estime a inclinação da linha para uma distância muito pequena
À medida que Q se aproxima de P, H fica cada vez mais perto do valor da inclinação do ponto P. Eventualmente, quando atinge um valor muito pequeno, H é igual à inclinação de P. Uma vez que não podemos medir ou calcular distâncias muito pequenas, só podemos estimar a inclinação em P depois que ela estiver clara do ponto que estamos tentando.
- No exemplo, conforme movemos Q para mais perto de P, obtemos valores de 1,8, 1,9 e 1,96 para H. Como esses números estão próximos de 2, podemos dizer que 2 é a inclinação aproximada de P.
- Lembre-se de que a inclinação em qualquer ponto da linha é igual à derivada da equação da linha. Como a linha usada mostra o deslocamento de um objeto ao longo do tempo, e como vimos na seção anterior, a velocidade instantânea de um objeto é a derivada de seu deslocamento em um determinado ponto, também podemos afirmar que "2 metros / segundo "é o valor aproximado da velocidade instantânea em t = 1.
Método 3 de 3: exemplos de perguntas
Etapa 1. Encontre o valor da velocidade instantânea em t = 4, a partir da equação de deslocamento s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9.
Este problema é igual ao exemplo da primeira parte, exceto que esta equação é uma equação de cubo, não uma equação de potência, então podemos resolver este problema da mesma maneira.
- Primeiro, pegamos a derivada da equação:
- Em seguida, insira o valor de t (4):
s = 5t3- 3t2+ 2t + 9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metros / segundo
Etapa 2. Use uma estimativa gráfica para encontrar a velocidade instantânea em (1, 3) para a equação de deslocamento s = 4t2 - t.
Para este problema, usaremos (1, 3) como o ponto P, mas temos que definir outro ponto adjacente a esse ponto como o ponto Q. Então, precisamos apenas determinar o valor de H e fazer uma estimativa.
- Primeiro, encontre o valor de Q primeiro em t = 2, 1,5, 1,1 e 1,01.
- Em seguida, determine o valor de H:
- Como o valor de H é muito próximo de 7, podemos afirmar que 7 metros / segundo é a velocidade instantânea aproximada em (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, então Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, então Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, então Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, então Q = (1,01, 3,0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) =
Etapa 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4,5) / (, 5) =
Etapa 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
H = (.74) / (. 1) = 7.3
Q = (1,01, 3,0704):
H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
H = (.0704) / (. 01) = 7.04
Pontas
- Para encontrar o valor da aceleração (mudança na velocidade ao longo do tempo), use o método na primeira seção para obter a equação para a derivada da função de deslocamento. Em seguida, crie a equação derivada novamente, desta vez a partir de sua equação derivada. Isso lhe dará a equação para encontrar a aceleração a qualquer momento, tudo o que você precisa fazer é inserir o valor do tempo.
- A equação que relaciona o valor de Y (deslocamento) a X (tempo) pode ser muito simples, por exemplo Y = 6x + 3. Neste caso, o valor do declive é constante e não há necessidade de encontrar a derivada para calculá-lo, onde, de acordo com a equação de uma linha reta, Y = mx + b será igual a 6.
- O deslocamento é semelhante à distância, mas tem uma direção, portanto, o deslocamento é uma quantidade vetorial, enquanto a distância é uma quantidade escalar. O valor do deslocamento pode ser negativo, mas a distância sempre será positiva.
