O teorema de Pitágoras descreve os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo de uma forma elegante e prática, portanto, esse teorema ainda é amplamente usado hoje. Este teorema afirma que, para qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos lados não angulares é igual ao quadrado da hipotenusa. Em outras palavras, para um triângulo retângulo com lados perpendiculares aeb e hipotenusa c, uma2 + b2 = c2.
O teorema de Pitágoras é um dos pilares básicos da geometria elementar. Existem inúmeras aplicações usando este teorema, por exemplo, para tornar mais fácil encontrar a distância entre dois pontos em um plano de coordenadas.
Etapa
Método 1 de 2: Encontrando os Lados de um Triângulo Direito
Etapa 1. Certifique-se de que seu triângulo seja um triângulo retângulo
O teorema de Pitágoras se aplica apenas a triângulos retângulos, portanto, antes de prosseguir, é muito importante certificar-se de que seus triângulos estão de acordo com as propriedades dos triângulos retângulos. Felizmente, há um fator que pode indicar que seu triângulo é um triângulo retângulo. Seu triângulo deve ter um ângulo de 90 graus.
Como um sinal, triângulos retângulos são freqüentemente marcados com pequenos quadrados para marcar ângulos de 90 graus, não usando "curvas" curvas. Procure esta marca específica no canto do triângulo
Etapa 2. Forneça as variáveis a, bec para os lados do triângulo
No Teorema de Pitágoras, as variáveis aeb representam os lados que se encontram no triângulo retângulo, enquanto a variável c representa a hipotenusa - o lado longo oposto ao ângulo reto. Então, para começar, marque os lados curtos do seu triângulo com as variáveis aeb (não importa se você os trocar), e marque a hipotenusa com a variável c.
Etapa 3. Decida qual lado do triângulo você deseja resolver
O teorema de Pitágoras permite que os matemáticos encontrem o comprimento de qualquer lado de um triângulo retângulo, desde que conheçam os comprimentos dos outros dois lados. Determine qual lado é desconhecido - a, b e / ou c. Se o comprimento de um de seus lados for desconhecido, você está pronto para seguir em frente.
- Por exemplo, sabemos que o comprimento da hipotenusa de um triângulo é 5 e o comprimento de um dos outros lados é 3, mas não temos certeza do comprimento do terceiro lado. Nesse caso, sabemos que estamos procurando o comprimento do terceiro lado e, como sabemos o comprimento dos outros dois, podemos resolvê-lo! Trabalharemos nesse problema com as etapas a seguir.
- Se você não conhece os comprimentos dos dois lados, deve conhecer um dos lados para poder usar o Teorema de Pitágoras. As funções trigonométricas básicas podem ajudá-lo se você conhecer um lado de um triângulo que não é inclinado.
Etapa 4. Insira os valores bilaterais que você já conhece na equação
Conecte os comprimentos dos lados do seu triângulo na equação a2 + b2 = c2. Lembre-se de que aeb são lados não inclinados, enquanto c é a hipotenusa.
Em nosso exemplo, sabemos o comprimento de um dos lados e da hipotenusa (3 e 5), então a equação torna-se 3² + b² = 5²
Etapa 5. Quadrado
Para resolver sua equação, comece quadrando os lados conhecidos. Alternativamente, se você achar isso mais fácil, você pode deixar os comprimentos dos lados quadrados e quadrá-los mais tarde.
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Em nosso exemplo, colocaremos 3 e 5 no quadrado para obtermos
Etapa 9. da
Etapa 25.. Podemos escrever a equação como 9 + b² = 25.
Etapa 6. Mova a variável desconhecida para o outro lado da equação
Se necessário, use operações algébricas básicas para fazer a variável desconhecida se mover para o outro lado da equação e o quadrado das outras duas variáveis para o outro lado. Se você quiser encontrar o comprimento da hipotenusa, c já está do outro lado da equação, portanto, você não precisa fazer nada para movê-la.
Em nosso exemplo, a equação atual é 9 + b² = 25. Para mover b², subtraia ambos os lados da equação por 9, de modo que o resultado seja b² = 16
Etapa 7. Raiz quadrada de ambos os lados da equação
Agora, apenas uma variável é elevada ao quadrado de um lado e o número do outro. Raiz quadrada de ambos os lados para encontrar o comprimento do lado desconhecido.
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Em nosso exemplo, b² = 16, tomando a raiz quadrada de ambos os lados dá b = 4. Assim, podemos dizer que o comprimento do lado desconhecido do triângulo é
Passo 4..
Etapa 8. Use o Teorema de Pitágoras para encontrar os lados de um triângulo retângulo verdadeiro
A razão pela qual o Teorema de Pitágoras é amplamente usado hoje é que ele pode ser aplicado a inúmeras situações práticas. Aprenda a conhecer triângulos retângulos na vida real - em qualquer situação onde dois objetos ou linhas retas encontram um ângulo reto e o terceiro objeto ou linha une os dois objetos ou linhas diagonalmente, então você pode usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do lado o outro, se os comprimentos dos outros dois lados forem conhecidos.
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Vamos tentar um exemplo real que é um pouco mais difícil. Uma escada está encostada em um prédio. A distância da base da escada à parede é de 5 metros. A altura das escadas chega a 20 metros. Qual é o comprimento da escada?
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5 metros da parede e 20 metros de altura indicam o comprimento dos lados do triângulo. Uma vez que a parede e o solo (assumido) formam um ângulo reto e a escada é apoiada diagonalmente contra a parede, este arranjo pode ser considerado um triângulo retângulo com comprimentos laterais a = 5 eb = 20. O comprimento da escada é a hipotenusa, então o valor de c não é conhecido. Vamos usar o Teorema de Pitágoras:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- raiz (425) = c
- c = 20,6. O comprimento aproximado da escada é 20,6 metros.
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Método 2 de 2: Calcular a distância entre dois pontos no plano X-Y
Etapa 1. Encontre dois pontos no plano X-Y
O teorema de Pitágoras pode ser usado facilmente para calcular a distância em linha reta entre dois pontos no plano X-Y. Tudo que você precisa saber são as coordenadas xey dos dois pontos. Normalmente, essas coordenadas são escritas juntas na forma (x, y).
Para encontrar a distância entre esses dois pontos, consideraremos cada ponto como um dos ângulos não retos de um triângulo retângulo. Isso tornará mais fácil encontrar os comprimentos dos lados aeb e, em seguida, calcular a hipotenusa c, que é a distância entre os dois pontos
Etapa 2. Desenhe seus dois pontos na imagem
Em um plano X-Y regular, cada ponto (x, y), x representa uma coordenada horizontal ey representa uma coordenada vertical. Você pode encontrar a distância entre os dois pontos sem desenhá-lo, mas, ao fazer isso, terá uma imagem visual que poderá usar para ver se sua resposta está correta.
Etapa 3. Encontre o comprimento do lado não inclinado do triângulo
Usando os dois pontos como ângulos do triângulo adjacente à hipotenusa, encontre os comprimentos dos lados aeb do triângulo. Você pode fazer isso usando uma imagem ou a fórmula | x1 - x2| para o lado horizontal e | y1 - y2| para o lado vertical, com (x1, y1) como o primeiro ponto e (x2, y2) como o segundo ponto.
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Sejam nossos dois pontos (6, 1) e (3, 5). O comprimento do lado horizontal do nosso triângulo é:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Etapa 3.
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O comprimento do lado vertical é:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Passo 4.
- Portanto, em nosso triângulo retângulo, lado a = 3 e lado b = 4.
Etapa 4. Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa
A distância entre dois pontos é o comprimento da hipotenusa do triângulo cujos dois lados você acabou de encontrar. Use o teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa, onde a é o comprimento do primeiro lado eb é o comprimento do segundo lado.
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Em nosso exemplo, estamos usando os pontos (3, 5) e (6, 1) cujos comprimentos laterais são 3 e 4, portanto, podemos encontrar a hipotenusa da seguinte forma:
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- (3) ² + (4) ² = c²
- c = raiz (9 + 16)
- c = raiz (25)
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c = 5. A distância entre (3, 5) e (6, 1) é
Etapa 5..
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Pontas
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A hipotenusa é sempre:
- oposto ao ângulo reto (sem tocar no ângulo reto)
- lado mais longo em um triângulo retângulo
- chamado c no teorema de Pitágoras
- root (x) significa a raiz quadrada de x.
- Lembre-se de sempre verificar suas respostas. Se sua resposta parecer errada, tente novamente e tente novamente.
- Se o triângulo não for um triângulo retângulo, você precisará de informações adicionais, não apenas os comprimentos dos outros dois lados.
- Outra forma de verificar - o lado mais longo é oposto ao ângulo maior e o lado mais curto é oposto ao ângulo menor.
- Os números são a chave para anotar os valores corretos para a, be c. Se você estiver trabalhando em um problema de história, certifique-se de primeiro anotar o problema em forma de imagem.
- Se você conhece apenas o comprimento de um lado, o Teorema de Pitágoras não funciona. Tente usar trigonometria (sin, cos, tan) ou proporções 30-60-90 / 45-45-90.
