Distância, geralmente dada a variável “s”, é uma medida de espaço que é uma linha reta entre dois pontos. A distância pode se referir ao espaço entre dois pontos imóveis (por exemplo, a altura de uma pessoa é a distância da planta dos pés ao topo da cabeça) ou pode se referir ao espaço entre a posição atual de um objeto em movimento e o local inicial onde o objeto começou a se mover. A maioria dos problemas de distância podem ser resolvidos pela equação s = v × t, onde s é a distância, v é a velocidade média e t é o tempo, ou usando s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), onde (x1, y1) e (x2, y2) são as coordenadas xey dos dois pontos.
Etapa
Método 1 de 2: Calculando a distância com velocidade e tempo médios
Etapa 1. Encontre os valores médios de velocidade e tempo
Ao tentar calcular a distância que um objeto em movimento percorreu, existem duas informações que são importantes para este cálculo: Rapidez (ou velocidade) e Tempo que o objeto em movimento viajou. Com essas informações, é possível calcular a distância percorrida pelo objeto usando a fórmula s = v × t.
Para entender melhor o processo de uso da fórmula da distância, vamos resolver um problema de exemplo nesta seção. Digamos que estejamos viajando por uma estrada a 120 milhas por hora (cerca de 193 km por hora) e queremos saber quanto teremos percorrido em meia hora. Usar 120 milhas por hora como o valor da velocidade média e 0,5 horas como o valor do tempo, resolveremos esse problema na próxima etapa.
Etapa 2. Multiplique a velocidade média pelo tempo
Depois de saber a velocidade média de um objeto em movimento e o tempo que ele percorreu, calcular a distância percorrida é relativamente fácil. Basta multiplicar os dois valores para encontrar a resposta.
- No entanto, observe que se a unidade de tempo usada no valor da velocidade média for diferente daquela usada no valor do tempo, você precisará alterar uma para corresponder. Por exemplo, se tivéssemos um valor de velocidade média medido em km por hora e um valor de tempo medido em minutos, seria necessário dividir o valor de tempo por 60 para convertê-lo em horas.
- Vamos terminar nosso problema de exemplo. 120 milhas / hora × 0,5 horas = 60 milhas. Observe que as unidades no valor de tempo (horas) omitem o denominador da velocidade média (horas), deixando apenas as unidades de distância (milhas).
Etapa 3. Altere a equação para calcular outra variável
A simplicidade da equação de distância básica (s = v × t) torna fácil usar a equação para encontrar o valor de uma variável diferente de distância. Apenas isole a variável que deseja encontrar de acordo com as regras básicas da álgebra e, em seguida, insira os valores das outras duas variáveis para encontrar o valor da terceira variável. Em outras palavras, para calcular a velocidade média do objeto, use a equação v = s / t e para calcular o tempo decorrido pelo objeto, use a equação t = s / v.
- Por exemplo, digamos que saibamos que um carro percorreu 60 milhas em 50 minutos, mas não temos um valor para a velocidade média enquanto o objeto se move. Nesse caso, podemos isolar a variável v na equação básica da distância para obter v = d / t, e então dividir 60 milhas / 50 minutos para obter a resposta 1,2 milhas / minuto.
- Observe que, no exemplo, a resposta para velocidade tem uma unidade incomum (milhas / minuto). Para obter uma resposta nas milhas / hora mais comuns, multiplique por 60 minutos / hora para obter o resultado 72 milhas / hora.
Etapa 4. Observe que a variável “v” na fórmula da distância se refere à velocidade média
É importante entender que a fórmula básica da distância oferece uma visão simplificada do movimento de um objeto. A fórmula da distância assume que um objeto em movimento tem uma velocidade constante - em outras palavras, ela assume que um objeto em movimento tem uma velocidade única e imutável. Para problemas matemáticos abstratos, como aqueles que você pode encontrar em um ambiente acadêmico, às vezes ainda é possível modelar o movimento de um objeto usando essa suposição. No entanto, na vida real, esses exemplos muitas vezes não refletem com precisão o movimento de objetos em movimento, que na verdade podem acelerar, desacelerar, parar e reverter com o tempo.
- Por exemplo, no problema do exemplo acima, concluímos que para cobrir 60 milhas em 50 minutos, precisaríamos viajar a 72 milhas por hora. No entanto, isso só é verdade se estiver viajando em uma velocidade durante toda a viagem. Por exemplo, viajando a 80 milhas / hora na metade da viagem e 64 milhas / hora na outra metade, ainda assim cobriremos 60 milhas em 50 minutos - 72 milhas / hora = 60 milhas / 50 minutos = ?????
- Soluções baseadas em cálculo que usam derivadas são freqüentemente uma escolha melhor do que fórmulas de distância para definir a velocidade de um objeto em situações reais, porque mudanças na velocidade são possíveis.
Método 2 de 2: Calculando a distância entre dois pontos
Etapa 1. Encontre as duas coordenadas espaciais dos dois pontos
E se, em vez de calcular a distância que um objeto em movimento percorreu, você precisar calcular a distância entre dois objetos imóveis? Nesse caso, a fórmula de distância baseada na velocidade descrita acima não funcionará. Felizmente, diferentes fórmulas de distância podem ser usadas para calcular facilmente a distância em linha reta entre dois pontos. No entanto, para usar esta fórmula, você precisará saber as coordenadas dos dois pontos. Se estiver lidando com distâncias unidimensionais (como em uma linha numérica), as coordenadas consistirão em dois números, x1 e x2. Se você estiver lidando com distâncias em duas dimensões, você precisará de dois valores (x, y), (x1, y1) e (x2, y2) Finalmente, para três dimensões, você precisará do valor (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2).
Etapa 2. Calcule a distância unidimensional subtraindo os valores das coordenadas de dois pontos
Calcular a distância unidimensional entre dois pontos quando você já sabe o valor de cada ponto é fácil. Basta usar a fórmula s = | x2 - x1|. Nesta fórmula, você subtrai x1 de x2, então pegue o valor absoluto de sua resposta para encontrar a distância entre x1 e x2. Normalmente, você desejará usar a fórmula de distância unidimensional quando os dois pontos estiverem em uma linha ou eixo numérico.
- Observe que esta fórmula usa valores absolutos (símbolo " | |"). O valor absoluto significa apenas que o valor dentro do símbolo torna-se positivo se for negativo.
-
Por exemplo, digamos que paramos no acostamento de uma estrada em uma rodovia perfeitamente reta. Se houver uma cidade a 8 km à nossa frente e outra cidade a 1 km atrás, a que distância estão as duas cidades? Se definirmos a cidade 1 como x1 = 5 e cidade 2 como x1 = -1, podemos calcular s, a distância entre as duas cidades, da seguinte forma:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 milhas.
Etapa 3. Calcule a distância bidimensional usando o teorema de Pitágoras
Calcular a distância entre dois pontos no espaço bidimensional é mais complicado do que no espaço unidimensional, mas não é difícil. Basta usar a fórmula s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). Nesta fórmula, subtraia as duas coordenadas x, calcule a raiz quadrada, subtraia as duas coordenadas y, calcule a raiz quadrada e, em seguida, some os dois resultados e calcule a raiz quadrada para encontrar a distância entre os dois pontos. Esta fórmula se aplica a um plano bidimensional - por exemplo, em um gráfico x / y regular.
- A fórmula da distância bidimensional usa o teorema de Pitágoras, que afirma que o comprimento da hipotenusa do triângulo à direita é igual à raiz quadrada do quadrado nos outros dois lados.
- Por exemplo, digamos que temos dois pontos no plano x-y: (3, -10) e (11, 7), que representam o centro de um círculo e um ponto no círculo, respectivamente. Para encontrar a distância em linha reta entre dois pontos, podemos calculá-la da seguinte maneira:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Etapa 4. Calcule a distância tridimensional alterando a fórmula da distância bidimensional
Em três dimensões, os pontos têm coordenadas z além das coordenadas xey. Para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, use s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Esta é uma forma modificada da fórmula de distância bidimensional descrita acima que inclui a coordenada z. Subtrair as duas coordenadas z, calcular a raiz quadrada e continuar com o resto da fórmula garante que sua resposta final representará a distância tridimensional entre os dois pontos.
- Por exemplo, digamos que somos astronautas flutuando no espaço entre dois asteróides. Um asteróide está cerca de 8 km à frente, 2 km à direita e 5 km abaixo de nós, enquanto o outro está cerca de 3 km atrás, 3 km à esquerda e 4 km acima de nós. Se representarmos as posições dos dois asteróides com as coordenadas (8, 2, -5) e (-3, -3, 4), podemos calcular a distância entre eles da seguinte maneira:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
