Existem várias funções matemáticas que usam vértices. Uma figura geométrica possui vários vértices, um sistema de desigualdades possui um ou mais vértices e uma parábola ou equação quadrática também possui vértices. Como encontrar vértices depende da situação, mas aqui estão algumas coisas que você deve saber sobre como encontrar vértices em cada cenário.
Etapa
Método 1 de 5: Encontrando o Número de Vértices em uma Forma
Etapa 1. Aprenda a Fórmula de Euler
A fórmula de Euler, conforme referida na geometria ou gráficos, afirma que para qualquer forma que não seja tangente a si mesma, o número de arestas mais o número de vértices, menos o número de arestas, será sempre igual a dois.
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Se escrita na forma de uma equação, a fórmula é semelhante a esta: F + V - E = 2
- F se refere ao número de lados.
- V refere-se ao número de vértices, ou vértices
- E se refere ao número de costelas
Etapa 2. Altere a fórmula para encontrar o número de vértices
Se você souber o número de lados e arestas de uma forma, poderá calcular rapidamente o número de vértices usando a Fórmula de Euler. Subtraia F de ambos os lados da equação e adicione E em ambos os lados, deixando V de um lado.
V = 2 - F + E
Etapa 3. Insira os números conhecidos e resolva
Tudo que você precisa fazer neste ponto é inserir o número de lados e arestas na equação antes de adicionar ou subtrair normalmente. A resposta que você obtém é o número de vértices e, portanto, resolve o problema.
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Exemplo: para um retângulo com 6 lados e 12 arestas …
- V = 2 - F + E
- V = 2 - 6 + 12
- V = -4 + 12
- V = 8
Método 2 de 5: Encontrando vértices em um sistema de desigualdade linear
Etapa 1. Desenhe a solução do sistema de desigualdades lineares
Em alguns casos, desenhar soluções de todas as desigualdades no sistema pode mostrar visualmente alguns ou até mesmo todos os vértices. No entanto, se você não puder, você precisa encontrar o vértice algebricamente.
Se estiver usando uma calculadora gráfica para desenhar a inequação, você pode deslizar para cima na tela até o ponto do vértice e encontrar suas coordenadas dessa forma
Etapa 2. Transforme a desigualdade em uma equação
Para resolver um sistema de desigualdades, você precisa converter temporariamente as desigualdades em equações para encontrar o valor de x e y.
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Exemplo: Para um sistema de desigualdades:
- y <x
- y> -x + 4
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Mude a desigualdade para:
- y = x
- y> -x + 4
Etapa 3. Substituição de uma variável por outra variável
Embora existam outras maneiras de resolver x e y, a substituição costuma ser a maneira mais fácil. Insira o valor y de uma equação para outra, o que significa "substituir" y em outra equação com o valor de x.
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Exemplo: Se:
- y = x
- y = -x + 4
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Então y = -x + 4 pode ser escrito como:
x = -x + 4
Etapa 4. Resolva para a primeira variável
Agora que você tem apenas uma variável na equação, você pode resolver facilmente para a variável, x, como em outras equações: adicionando, subtraindo, dividindo e multiplicando.
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Exemplo: x = -x + 4
- x + x = -x + x + 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4/2
- x = 2
Etapa 5. Resolva as variáveis restantes
Insira um novo valor para x na equação original para encontrar o valor de y.
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Exemplo: y = x
y = 2
Etapa 6. Defina os vértices
O vértice é a coordenada que contém o valor x e y que você acabou de descobrir.
Exemplo: (2, 2)
Método 3 de 5: Encontrando o vértice em uma parábola usando o eixo de simetria
Etapa 1. Fatore a equação
Reescreva a equação quadrática em forma de fator. Existem várias maneiras de fatorar uma equação quadrática, mas quando terminar, você terá dois grupos entre colchetes, que ao multiplicá-los, obterá a equação original.
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Exemplo: (usando análise)
- 3x2 - 6x - 45
- Produz o mesmo fator: 3 (x2 - 2x - 15)
- Multiplicando os coeficientes a e c: 1 * -15 = -15
- Encontra dois números que, quando multiplicados, são iguais a -15 e cuja soma é igual ao valor b, -2; 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- Substitua os dois valores na equação 'ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15)
- Fatoração por agrupamento: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
Etapa 2. Encontre a interceptação x da equação
Quando a função x, f (x), é igual a 0, a parábola intercepta o eixo x. Isso acontecerá quando qualquer fator for igual a 0.
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Exemplo: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- Então, as raízes são: (-3, 0) e (5, 0)
Etapa 3. Encontre o ponto médio
O eixo de simetria da equação ficará exatamente na metade do caminho entre as duas raízes da equação. Você tem que saber o eixo de simetria porque os vértices estão lá.
Exemplo: x = 1; este valor está exatamente no meio de -3 e 5
Etapa 4. Insira o valor de x na equação original
Insira o valor x do eixo de simetria na equação da parábola. O valor de y será o valor de y do vértice.
Exemplo: y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
Etapa 5. Anote os pontos do vértice
Até este ponto, os últimos valores calculados de xey darão as coordenadas do vértice.
Exemplo: (1, -48)
Método 4 de 5: Encontrando o vértice em uma parábola completando quadrados
Etapa 1. Reescreva a equação original na forma de vértice
A forma de "vértice" é uma equação escrita na forma y = a (x - h) ^ 2 + k, e o ponto do vértice é (h, k). A equação quadrática original deve ser reescrita desta forma, e para isso, você deve completar o quadrado.
Exemplo: y = -x ^ 2 - 8x - 15
Etapa 2. Obtenha o coeficiente a
Remova o primeiro coeficiente, a, dos dois primeiros coeficientes da equação. Deixe o último coeficiente c neste ponto.
Exemplo: -1 (x ^ 2 + 8x) - 15
Etapa 3. Encontre a terceira constante dentro dos colchetes
A terceira constante deve ser colocada entre colchetes para que os valores entre colchetes formem um quadrado perfeito. Essa nova constante é igual ao quadrado da metade do coeficiente do meio.
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Exemplo: 8/2 = 4; 4 * 4 = 16; de modo a,
- -1 (x ^ 2 + 8x + 16)
- Lembre-se de que os processos realizados dentro dos colchetes também devem ser realizados fora dos colchetes:
- y = -1 (x ^ 2 + 8x + 16) - 15 + 16
Etapa 4. Simplifique a equação
Como a forma dentro dos colchetes agora é um quadrado perfeito, você pode simplificar a forma dentro dos colchetes para uma forma fatorada. Simultaneamente, você pode adicionar ou subtrair valores fora dos colchetes.
Exemplo: y = -1 (x + 4) ^ 2 + 1
Etapa 5. Encontre as coordenadas com base na equação do vértice
Lembre-se de que a forma do vértice da equação é y = a (x - h) ^ 2 + k, com (h, k) quais são as coordenadas do vértice. Agora você tem informações completas para inserir os valores em hek e resolver o problema.
- k = 1
- h = -4
- Então, o vértice da equação pode ser encontrado em: (-4, 1)
Método 5 de 5: Encontrando o vértice em uma parábola usando uma fórmula simples
Etapa 1. Encontre o valor x do vértice diretamente
Quando a equação da parábola é escrita na forma y = ax ^ 2 + bx + c, x do vértice pode ser encontrado pela fórmula x = -b / 2a. Basta inserir os valores aeb da equação na fórmula para encontrar x.
- Exemplo: y = -x ^ 2 - 8x - 15
- x = -b / 2a = - (- 8) / (2 * (- 1)) = 8 / (- 2) = -4
- x = -4
Etapa 2. Insira este valor na equação original
Colocando o valor de x na equação, você pode encontrar y. O valor de y será o valor de y das coordenadas do vértice.
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Exemplo: y = -x ^ 2 - 8x - 15 = - (- 4) ^ 2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
y = 1
Etapa 3. Anote as coordenadas dos vértices
Os valores xey que você obtém são as coordenadas do ponto do vértice.
