Embora às vezes possa parecer assustador, o problema da raiz quadrada não é tão difícil de resolver. Problemas simples de raiz quadrada geralmente podem ser resolvidos tão facilmente quanto problemas básicos de multiplicação e divisão. Para questões mais complexas, é necessário um pouco mais de esforço. Mas com a abordagem certa, qualquer problema difícil pode ser resolvido. Por meio deste artigo, ajudaremos você a resolver problemas de raiz quadrada em algumas etapas fáceis.
Etapa
Parte 1 de 3: Noções básicas sobre quadrados e raízes quadradas
Etapa 1. O quadrado é o número multiplicado pelo próprio número
Para entender a raiz quadrada, é bom entender o significado do quadrado primeiro. Simplificando, um quadrado é um número multiplicado pelo próprio número. Por exemplo, 3 ao quadrado é 3 vezes 3 = 9 e 9 ao quadrado é 9 vezes 9 = 81. O quadrado é representado pelo pequeno 2 no canto superior direito do número ao quadrado - assim: 32, 92, 1002etc.
Tente elevar ao quadrado alguns outros números para testar este conceito. Lembre-se, elevar um número ao quadrado é multiplicar um número por si mesmo. Você pode até elevar ao quadrado os números negativos. O resultado sempre será um número positivo. Por exemplo, -82 = -8 × -8 = 64.
Etapa 2. A raiz quadrada é a recíproca do quadrado
O símbolo da raiz quadrada (√, também conhecido como o símbolo "radical") é essencialmente o oposto do símbolo 2. Ao encontrar um radical, pergunte-se: qual número, se elevado ao quadrado, resultaria no número dentro do radical? Por exemplo, se você olhar para √ (9), encontre o número que quando elevado ao quadrado é nove. Assim, a resposta é "três", porque 32 = 9.
-
Como outro exemplo, vamos tentar encontrar a raiz quadrada de 25 (√ (25)). Ou seja, estamos procurando um número que, quando elevado ao quadrado, o resultado é 25. Porque 52 = 5 × 5 = 25, então (25) =
Etapa 5..
-
A raiz quadrada também pode ser considerada "desfazendo" o quadrado. Por exemplo, se quisermos encontrar (64), a raiz quadrada de 64, pense em 64 como 82. Uma vez que o símbolo da raiz quadrada essencialmente "nega" o símbolo do quadrado, portanto (64) = (82) =
Etapa 8..
Etapa 3. Saiba a diferença entre quadrados perfeitos e imperfeitos
Até agora, os resultados de nossos cálculos de raiz quadrada eram números inteiros. As questões que você enfrentará mais tarde não serão tão fáceis, haverá questões com respostas em números decimais com alguns dígitos atrás da vírgula. Os números arredondados após o quadrado (ou seja, não são números fracionários ou decimais) também são chamados de “quadrados perfeitos”. Todos os exemplos anteriores (9, 25 e 64) são quadrados perfeitos porque, se forem quadrados, o resultado é um número inteiro (3, 5 e 8).
Por outro lado, os números que não são arredondados após serem quadrados, são "quadrados imperfeitos". Normalmente, após o quadrado, o resultado é um número fracionário ou decimal. Às vezes, até os números parecem muito complicados, como (13) = 3, 605551275464…
Etapa 4. Memorize o quadrado dos números 1-12
Como você já sabe, elevar ao quadrado um número perfeito ao quadrado é muito fácil. Memorizar os quadrados dos números de 1 a 12 pode ser muito útil porque esses números aparecerão muito no problema. Assim, você economizará tempo ao trabalhar nas perguntas. Os primeiros 12 números quadrados são:
-
12 = 1 × 1 =
Passo 1.
-
22 = 2 × 2 =
Passo 4.
-
32 = 3 × 3 =
Etapa 9.
-
42 = 4 × 4 =
Etapa 16.
-
52 = 5 × 5 =
Etapa 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Etapa 5. Simplifique a raiz quadrada removendo os quadrados perfeitos
Encontrar a raiz quadrada de um número quadrado imperfeito pode ser complicado, especialmente se você não usar uma calculadora. No entanto, o número a ser elevado ao quadrado pode ser simplificado para facilitar o cálculo. Para fazer isso, simplesmente separe o número dentro do radical em vários fatores, remova a raiz quadrada dos números quadrados perfeitos e escreva a resposta fora do radical. Este método é muito fácil de fazer - para lhe dar uma melhor compreensão, aqui está mais explicação:
- Digamos que queremos calcular a raiz quadrada de 900. Então, simplesmente divida 900 em seus fatores. “Fatores” são números que podem ser multiplicados juntos para produzir outro número. Por exemplo, o número 6 pode ser obtido multiplicando-se 1 × 6 e 2 × 3, então os fatores de 6 são 1, 2, 3 e 6.
- Com esse princípio em mente, vamos dividir 900 em seus fatores. Para começar, escrevemos 900 como 9 × 100. Como 9 é um quadrado perfeito, podemos calcular a raiz quadrada de 100 separadamente. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Em outras palavras, (900) = 3√(100).
-
Podemos simplificar ainda mais separando 100 em seus fatores, a saber, 25 e 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Portanto, pode ser calculado (900) = 3 (10) =
Etapa 30..
Etapa 6. Use um número imaginário para a raiz quadrada de um número negativo
Pense, qual número se ao quadrado o resultado for -16? A resposta, não. Todos os números ao quadrado o resultado é sempre positivo, pois é negativo (-), quando multiplicado por negativo o resultado é positivo (+). Portanto, para elevar ao quadrado um número negativo, precisamos substituir o número negativo por um número imaginário (geralmente na forma de letras ou símbolos). Por exemplo, a variável "i" geralmente é usada para a raiz quadrada de -1. Um número imaginário está sempre na raiz quadrada de um número negativo.
Deve-se notar que, embora os números imaginários nunca sejam representados por números, eles ainda podem ser tratados como números de várias maneiras. Por exemplo, a raiz quadrada de um número negativo pode ser elevada ao quadrado, para remover a raiz quadrada. Por exemplo, eu2 = - 1
Parte 2 de 3: use o algoritmo de estilo de divisão longa
Etapa 1. Resolva problemas de raiz quadrada, como problemas de divisão longa
Embora demorados, os difíceis problemas de raiz quadrada podem ser resolvidos sem uma calculadora. Para fazer isso, usaremos um método (ou algoritmo) semelhante à divisão de pilha longa.
- Comece escrevendo o problema da raiz quadrada como faria com um problema de divisão longa. Como exemplo de problema, encontre a raiz de 6, 45, que não é um número inteiro. Primeiro, escrevemos o símbolo do radical (√) e, abaixo dele, escrevemos o número do qual queremos tirar o quadrado. Em seguida, desenhe uma linha sobre os números, como uma divisão longa de empilhamento. Agora, o símbolo "√" parece ter uma cauda com o número 6,45 na parte inferior.
- Estaremos escrevendo os números acima do problema, portanto, certifique-se de deixar algum espaço em branco.
Etapa 2. Agrupe os dígitos do número em pares
Primeiro, agrupe os dígitos do número sob o radical em pares, começando na vírgula decimal. Faça algum tipo de marcador (ponto, vírgula, linha, etc.) entre os pares para facilitar o rastreamento.
No problema do exemplo, 6, 45 serão divididos em 6-, 45-00. Lembre-se de que há dígitos "restantes" à esquerda - isso não é um problema.
Etapa 3. Encontre o maior número cujo valor quadrado seja menor ou igual ao primeiro grupo
Comece com o primeiro número do grupo à esquerda. Escolha o maior número cujo valor quadrado é menor ou igual no grupo. Por exemplo, se o grupo for 37, escolha 6 porque 62 = 36 <37 mas 72 = 49> 37. Escreva este número acima do primeiro grupo. Este número é o primeiro dígito da sua resposta.
-
No problema do exemplo, o primeiro grupo de 6, 45-00 é 6. O maior número que é menor ou igual a 6 quando ao quadrado é
Passo 2. - 22 = 4. Escreva o número "2" acima de 6 e a cauda é um radical.
Etapa 4. Multiplique o número que você acabou de escrever, abaixe-o e subtraia-o
Pegue o primeiro dígito da sua resposta (escrito acima do radical) e multiplique-o. Escreva a resposta no primeiro grupo e subtraia para encontrar a diferença. Solte o próximo grupo à direita da diferença que você acabou de calcular. Finalmente, escreva o último dígito da multiplicação do primeiro dígito de sua resposta à esquerda e deixe um espaço em branco à direita.
No problema do exemplo, o número que é duplicado é 2 (o primeiro dígito da resposta anterior). 2 × 2 = 4. Em seguida, subtraia 4 por 6 (do primeiro grupo). 6 - 4 o resultado é 2. Em seguida, abaixe o próximo grupo (45) e obteremos 245. Finalmente, escreva o número 4 novamente à esquerda e deixe um pequeno espaço à direita, como este: 4_
Etapa 5. Preencha o espaço em branco
Adicione os dígitos à direita do número que você escreveu à esquerda. Escolha o dígito que fornece o maior valor quando multiplicado por este novo número, mas ainda é menor ou igual ao “número derivado”. Por exemplo, se o “número derivado” for 1700 e o número à sua esquerda for 40_, o número que deve ser inserido é "4" porque 404 × 4 = 1616 <1700, enquanto 405 × 5 = 2025. O número encontrado em esta etapa é o segundo dígito de sua resposta, portanto, escreva-o acima do símbolo do radical.
-
No problema de exemplo, procuraremos o número próximo a 4_ × _ cuja resposta é o maior número, mas é menor ou igual a 245. A resposta é
Etapa 5.. 45 × 5 = 225, enquanto 46 × 6 = 276.
Etapa 6. Continue a usar os números do “espaço em branco” para encontrar sua resposta
Continue o padrão de divisão de empilhamento longo até que a diferença entre as subtrações dos números sendo derivados seja zero, ou um número razoavelmente preciso tenha sido obtido. Quando terminar, os números que você usou para preencher as lacunas em cada etapa (mais o primeiro número que você usou) compõem cada dígito de sua resposta.
-
No problema do exemplo, subtraia 245 por 220 para obter 20. Em seguida, diminuiremos o próximo grupo de dígitos, 00, e obteremos 2.000. Multiplique o número acima do símbolo do radical e obteremos 25 × 2 = 50. Para preencher nos espaços em branco em 50_ × _ = / <2, 000, obtemos o número
Etapa 3.. Agora, temos "253" acima do símbolo radical - repita esse processo novamente e obtenha 9 no próximo dígito.
Etapa 7. Remova o sinal decimal da origem
Para obter a resposta final, coloque o ponto decimal na posição correta. É fácil - basta colocar o ponto decimal alinhado com o ponto decimal abaixo do símbolo do radical. Por exemplo, o número abaixo do radical é 49, 8, então coloque uma vírgula decimal entre os números acima de 8 e 9.
No problema do exemplo, se o número sob o radical for 6, 45, então o ponto decimal estará alinhado entre os dígitos 2 e 5. Isso significa que a resposta final é 2, 539.
Parte 3 de 3: estimar rapidamente quadrados imperfeitos
Etapa 1. Encontre o quadrado imperfeito usando aproximação
Depois de memorizar os quadrados perfeitos, será muito mais fácil encontrar os quadrados imperfeitos. O truque é encontrar um quadrado perfeito antes e depois do número que você está procurando. Em seguida, determine qual dos dois quadrados perfeitos está mais próximo do número que você está procurando.
Por exemplo, queremos encontrar a raiz quadrada de 40. O número quadrado perfeito antes e depois de 40 é 62 e 72, que é 36 e 49. Como 40 é maior que 36 e menor que 49, a raiz quadrada de 40 deve estar entre 6 e 7. O número 40 está mais próximo de 36 do que 49, então a raiz quadrada de 40 está mais perto de 6. Aqui estão algumas etapas para encontrar uma resposta precisa.
Etapa 2. Estime a raiz quadrada com um dígito após a vírgula
Quando você tiver determinado dois números quadrados perfeitos antes e depois do número que está procurando, o resto é o processo de encontrar o número atrás da vírgula que está mais próximo da resposta. Comece com o número estimado de um dígito após a vírgula. Esse processo continuará se repetindo até que você obtenha uma resposta com a precisão desejada.
No problema do exemplo, a aproximação razoável da raiz quadrada de 40 é 6, 4, porque a resposta provavelmente está mais próxima de 6 do que de 7.
Etapa 3. Multiplique seu número estimado pelo próprio número
Em outras palavras, eleve ao quadrado seu número aproximado. Se você tiver sorte, o resultado será o número do problema. Caso contrário, continue adicionando ou subtraindo os números após a vírgula até encontrar o quadrado mais próximo do número do problema.
- Multiplique 6, 4 por 6, 4 para obter 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, que é um pouco acima de 40.
- Como o experimento inicial foi redundante, subtraia sua aproximação por uma casa decimal, que é 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Este resultado está ligeiramente abaixo do número do problema. Isso significa que a raiz quadrada de 40 está entre 6, 3 e 6, 4. Então, como 39,69 está mais perto de 40, a raiz quadrada de 40 também está mais perto de 6, 3.
Etapa 4. Avance a previsão conforme necessário
Use sua resposta se você acha que é precisa o suficiente. Mas se não, apenas continue o padrão aproximado acima até encontrar uma resposta com três ou quatro dígitos após a vírgula - de qualquer maneira, até atingir o nível de precisão desejado.
